拓展三：空间向量中动点的设法 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

拓展三：空间向量中动点的设法 立体几何是高考必考的核心问题之—，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最值. 知识点1 空间向量可解决的立体几何问题 用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量 1、判定（证明）类 （1）线面平行： （2）线面垂直： （3）面面平行： （4）面面垂直： 2、计算类： 利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角的大小为(), 或（视平面角与法向量夹角关系而定） ④点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值. 知识点2 空间向量动点的设法 在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧： 1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断： （1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量： （1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得 () 例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量 因为在上，所以 ——共线定理的应用（关键） ，即——仅用一个变量表示 注：①若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，注意根据具体题目给出t的范围。（点落在与轴平行的直线处理方式大致相同） ②若点在直线上，且直线在平面上，则点的竖坐标为0，若已知直线上的两点坐标，除了使用，还可以在平面上表示出直线的方程，得到的关系，则引入一个参数（注意给出参数的范围）即可表示点的坐标。(同理若直线在平面上也适用，不适用于在空间中的斜线） ③若点在面上，有时也可利用向量共线定理解决。 （2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得： 例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即 考点一 动点的设法 （一）动点在轴上 若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，注意根据具体题目给出t的范围。（点落在与轴平行的直线处理方式大致相同） 【例1-1】在边长为2正方体中： （1）求证平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段AB上是否存在一点M（不与端点重合，使得二面角所成平面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 设平面的法向量为 ，则 又， 则平面 （2） 则直线与平面所成角的正弦值为 （3）设，，则 即， ， 设平面的法向量为 ，则 同理可得出平面的法向量 即，解得（舍）， 即存在使得二面角所成平面角的余弦值为 变式1：如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2. (Ⅰ)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； (Ⅱ)求二面角E­BC­F的正弦值； (Ⅲ)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长． 【解析】(Ⅰ)证明：依题意以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)． 可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，1，2)，G(0，0，2)，M，N(1，0，2)． 依题意，＝(0