拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用 空间向量在解决立体几何有关位置关系及其延伸出来的相关问题中有着比较广泛的应用.在解题过程中，学生通常较偏爱于用坐标法来解决问题，实际上，利用向量基底法求解不仅过程简洁，而且在许多问题中其往往更具有优越性.通过向量基底法在上述平行垂直证明、角度问题、距离问题和位置关系判断等问题中的应用，我们发现合适基底的选择是十分重要的.在计算问题中，应该尽量选择模已知的向量，且三个向量间的夹角也易求，而在证明问题中，这些条件可以适当放宽. 纵观近些年的高考试卷，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，这种方便建系的考查方式让同学们习惯了空间直角坐标系下的机械运算，空间想象能力和逻辑推理能力大幅度降低.不仅如此，有时考题甚至找不到这样的三条线段，以致于许多同学因为无法合理建系导致解题失败. 因此，也建议教师在教学中可以适当补充一些向量基底法的知识，以便让同学们充分体会到基底法使用的 广泛性和灵活性，领略到立体几何学习的乐趣. 知识点1 “三个”定理 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． (1)线线平行： l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行： l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0. (3)面面平行： α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. (4)线线垂直： l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (5)线面垂直： l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1. (6)面面垂直： α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 知识点3 空间距离及向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，＝a，向量在直线l上的投影向量为，则 PQ＝＝ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量是向量在平面上的投影向量， PQ＝＝ 知识点4 空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ 两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ 考点一 平行垂直问题 解题方略： 对于平行垂直关系的证明，一般是结合相关空间定理和性质，借助直观的空间观察和想象.当直观想象难以为继，却又不想利用坐标化以致有杀鸡用牛刀之嫌的情况下，采用向量基底法不失为一个好的选择. 【例1-1】如图，平面，，，，，． 求证：平面； 【解析】方法一：空间向量法 证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，． 设，则，2，． 则是平面的法向量，又，可得． 又直线平面，平面 方法二：基底法 证明：如图所示，因为，所以，又因为，，所以，所以和共面，又，所以. 【例1-2】如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证： ． 【解析】方法一：通过线面垂直证线线垂直 在直三棱柱中，是的中点，． ， 直三棱柱中，平面，平面， ， 又，平面， 平面，． 方法一：基底法 证明：如图所示,在直三棱柱中，，又因为，为AC的中点，所以，所以，所以. 考点二 角度问题 解题方略： 通过建立直角坐标系，利用坐标化进行代数运算是解决立体几何中角度问题的"惯例"，这也是对考生数学运算和数据处理等核心素养的考验.但往往建系不方便或者运算量偏大时，向量基底法的适时引入往往能够起到柳暗花明的效果. 【例2-1】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】方法一：空间向量法 建立如图所示的空间直角