1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课程标准 课标解读 1. 会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 1. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解. 2. 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 知识点1 空间距离及向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为 （＝(a·u)u.）， 则PQ＝＝ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量， PQ＝＝ 注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 注意点： (1)两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 【即学即练1】已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B．1 C. D．2 【解析】∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)， ∴点A到直线BC的距离为d＝＝＝. 【即学即练2】在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 【解析】方法一　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，过O1作O1D⊥AC于点D， 设D(x，y,0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)． ∵＝(－2,3,0)，⊥，∥， ∴解得 ∴D， ∴||＝＝. 即O1到直线AC的距离为. 方法二　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)， ∴＝(－2,0,2)，＝(－2,3,0)， ∴·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4， a＝＝(－2,0,2)，u＝＝， ∴＝， ∴O1到直线AC的距离 d＝＝. 【即学即练3】若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 【解析】分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)． 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)， 则d＝＝. 【即学即练4】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1的距离． 【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)， 直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2,0,1)， 故点M到直线AC1的距离d＝＝＝. (2)设平面MA1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)，所以＝(－1,1，－1)， 故N到平面MA1C1的距离d＝＝＝. 【即学即练5】两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D．3 【解析】∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B 知识点2　空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ （1） 两异面直线所成角的范围是 （2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ (1)线面