1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导． 2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想． 3.会用向量法求线线、线面、面面夹角． 4.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 1、直观想象 2、数学运算 3、逻辑推理 【自主学习】 一．空间距离的向量求法 分类 图示 向量求法 点线距 u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，＝a，在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则PQ＝＝ . 线线距 转化为点线距 在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离． 点面距 设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α， PQ⊥α，在直线l上的投影向量为，则P点到平面α的距离 PQ＝ 线面距（前提是线面平行） 转化为点面距 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． 面面距（前提是面面平行） 转化为点面距 如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 解读：异面直线a，b间的距离 求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量n，在两条直线上分别取A和B，则在法向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离，所以距离为 . 二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解． 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v， 则cosθ＝ ＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2， 则cos θ＝ ＝ 图（1）直线与平面所成角 图（2）平面与平面所成角 思考1：平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 思考2：两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？ 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　 　) （2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　 　) （3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　 　) （4）若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　 　) 2.已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为 . 【经典例题】 题型一 利用空间向量求空间距离 角度1：点线距 点拨：用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确． 例1 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 角度2：点面距 点拨：求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2)在三棱锥中用等体积法求解． (3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)． 例2 在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． 角度3 线面距 例3 在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1)求证：B1C∥平面A1BD； (2)求直线B1C到平面A1BD的距离． 角度4 面面距 点拨：求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主． 例4 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 题型二 利用空间向量求夹角 角度1：线线角 点拨：1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤． (1)建立适当的空间直角坐标系． (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标． (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角． (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 2.