重难点03 二次函数中特殊三角形问题-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

重难点03 二次函数中特殊三角形问题 ( 技巧 方法 ) 1. 知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为： ． 2. 解题思路： 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之． ( 能力拓展 ) 题型一：二次函数中直角三角形问题 1．（2022·浙江金华·九年级期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)若点在轴上，满足的点是否存在？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或或． 【分析】（1）利用三角形相似求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解． （2）由题意得为直径的圆与对称轴的直线有唯一的交点，即相切，根据切线的性质，利用勾股定理即可求解． （3）当点以为弦的上，圆心角，过点做于，则，根据，可得,利用两点的距离公式即可求解． (1)，， ∽， ， ， ， ， 抛物线与轴交于点，， 设， 把代入得，解得， 抛物线的函数表达式， 即． (2)存在，由题可知：抛物线的对称轴上是否存在唯一的点，满足，就是指以为直径的圆与对称轴有唯一的交点，即相切． 如图，设的中点为， ， 点的横坐标为， 点到直线的距离为， 直径的长为， ， 点的坐标为或． (3)存在．如图，当点在以为弦的上，圆心角， 过点做于，则， ， ， ， ， 或， 设， ， 当时，， 或， 同理，当时，或 ， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式、圆周角定理、垂径定理、切线的性质、三角形相似的判定及性质，能够作出适当的辅助线，利用圆的有关性质，勾股定理，锐角三角函数求解是解题的关键． 2．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B． (1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求线段BC所在直线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)y＝x＋3 (2)M(－1，2) (3)P点的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，)或(－1，)． 【分析】（1）根据对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，待定系数法求抛物线解析式即可，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式即可， （2）根据对称性求最值即可，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小， （3）设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，①若点B为直角顶点，②若点C为直角顶点，③若点P为直角顶点，根据勾股定理求解即可． (1)根据题意：，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3． ∵抛物线的对称轴为x＝－1，且抛物线过点A(1，0)， ∴把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得： ，解得， ∴直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3． (2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小． 把x＝－1代入y＝x＋3得：y＝2． ∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(－1，2)． (3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)， ∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10． ①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2； ②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4； ③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝． 综上所述，P点的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，)或(－1，)． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，抛物线的对称性求线段和