重难点02 二次函数中相似三角形问题-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

重难点02 二次函数中相似三角形问题 ( 技巧 方法 ) 二次函数背景下的相似三角形考点分析： 1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点； 2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式； 3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式； 4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解； 5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题； 6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。 ( 能力拓展 ) 一、单选题 1．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，已知点，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数和过P，A两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D，当时，这两个二次函数的最大值之和等于（       ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】过作于，过作于，过作于，利用抛物线和等腰三角形的对称性可得，先证明，，由此可得，，两式相加并化简，可得，利用勾股定理求出，即可得的值． 【详解】过作于，过作于，过作于． ，， ． 由二次函数的对称性可知，，， ． ， ，， ，， 两式相加，得． 在中，． ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，有一定难度，属于综合性试题． 二、填空题 2．（2022·浙江宁波·九年级期末）已知过点的抛物线与坐标轴交于点A，C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P，当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为______． 【答案】或 【分析】运用待定系数法求出函数关系式，求出点A，C的坐标，得出AC=，BC=，AB=，判断为直角三角形，且， 过点M作MG⊥y轴于G，则∠MGA=90°，设点M的横坐标为x，则MG=x，求出含x的代数式的点M的坐标，再代入二次函数解析式即可． 【详解】把点B (4，1)代入，得： ∴ 抛物线的解析式为 令x=0，得y=3， ∴A(0，3) 令y=0，则 解得， ∴C（3，0） ∴AC= ∵B（4，1） ∴BC=，AB= ∴ ∴为直角三角形，且， 过点M作MG⊥y轴于G，则∠MGA=90°， 设点M的横坐标为x，由M在y轴右侧可得x＞0，则MG=x， ∵PM⊥MA，∠ACB=90°， ∴∠AMP=∠ACB=90°， ①如图，当∠MAP=∠CBA时，则△MAP∽△CBA， ∴ 同理可得， ∴ ∴AG=MG=x，则M（x，3+x）， 把M（x，3+x）代入y=x2-x+3，得 x2-x+3=3+x， 解得，x1=0（舍去），x2=， ∴3+x=3+ ∴M（，）； ②如图，当∠MAP=∠CAB时，则△MAP∽△CAB， ∴ 同理可得，AG=3MG=3x， 则P（x，3+3x）， 把P（x，3+3x）代入y=x2-x+3， 得x2-x+3=3+3x， 解得，x1=0（舍去），x2=11， ∴M（11，36）， 综上，点M的坐标为（11，36）或（，） 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等等知识，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用． 三、解答题 3．（2022·浙江丽水·三模）定义：对于抛物线，把它在轴下方的部分图形作关于轴的轴对称图形，所得的图形称为的“型曲线”．如图为的“型曲线”，与轴的交点为，，与轴的交点为，与对称轴的交点为，有轴． (1)求的值． (2)若直线与的“型曲线”有且只有三个公共点，求的值． (3)在的“型曲线”是否存在点，使得，若存在，求点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)或 (3)存在，点的横坐标是，， 【分析】（1）求出点的坐标为(，)以及点的坐标为(，)，利用轴，列出方程即可求解； （2）当直线过点时；当直线与段抛物线一个交点时，两种情况，画出图形求解； （3）过作，交抛物线于点，过作交的延长线于点 ， 证得，求得点，得到直线OE的解析式，与“型曲线”的解析式联立求得交点；再延长到，使得，过点作垂直于抛物线的对称轴直线于点，连接，则，求得点点的坐标，得到直线ON的解析式，然后与“型曲线”的解析式联立求得交点即可． (1)解：中，令，则，点的坐标为(，)， 对称轴直线为， ， 由题意可得，点的坐标为(，)， ∵轴， ∴，解得． 此时． (2)当直线过点时，令， 则，解得， ∴， ∴． 当直线与段抛物线一个交点时， 可得， 即， 由，解得 ∴的值是或． (3)由（1）知，当时，点的坐标为(