重难点01 二次函数的平移问题-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

重难点01 二次函数的平移问题 ( 技巧 方法 ) 一．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 二．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移： 针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。 ( 能力拓展 ) 一、解答题 1．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，函数． (1)函数图象过点， ①当时，求该函数的表达式； ②证明该函数的必过点； (2)平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)①；②见解析，(2)小于等于 【分析】（1）把点代入，即可求解；②把点代入得到该函数的表达式为，再把代入，即可求证； （2）设平移后所得抛物线的顶点的横坐标为a，根据顶点始终在直线上，可得平移后所得抛物线的顶点坐标为，从而得到平移后所得抛物线的解析式为，进而得到平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标为，即可求解． (1)解∶ ①当时，点， ∴，解得：， ∴该函数的表达式为； ②∵函数图象过点， ∴，解得：， ∴该函数的表达式为， 当时，， ∴该函数的必过点； (2)解：设平移后所得抛物线的顶点的横坐标为a， ∵顶点始终在直线上， ∴平移后所得抛物线的顶点坐标为， ∴平移后所得抛物线的解析式为， 令，则， ∴平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标为， ∵， ∴平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的取值范围为小于等于． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且．抛物线经过点，． (1)求这条抛物线的解析式，并直接写出当时的取值范围； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移2个单位，此时点恰好落在线段上，求的值． 【答案】(1)，x<1或x>3；(2)2 【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y=ax²+bx即可得，然后把y=- 代入得到关于x的方程，解方程求得x=1或x=3，结合图象即可求得； （2）求出AB解析式，用m表示的坐标代入即可得答案． (1)解：∵B(0，2)， ∴OB=2， ∵点A在x轴正半轴上，且OA=2OB， ∴A(4，0)． ∶将A(4，0)，代入y=ax²+bx得∶ 解得 ∴抛物线的表达式为 把y= 代入 解得x=1或x=3， 由图象可知，当y>时，x的取值范围是x<1或x>3； (2)解：设直线AB的解析式是y=px+q， 将A(4，0)，B(0，2)代入得 解得 ∴直线AB的解析式是y=-x+2， ∵抛物线向右平移m个单位，再向上平移2个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移2个单位，而C(1，)· ∴ ∵在线段AB上， ∴ ， ∴m=2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 3．（2022·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A，且交线段AB于点C，． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)向左平移抛物线，使得抛物线再次经过点C，求平移后抛物线的函数解析式． 【答案】(1)；(2)C的坐标为；(3) 【分析】（1）根据点A在抛物线上，求出点A的坐标，再将A的坐标代入直线的解析式求出k的值即可； （2）直接将直线与抛物线的解析式联立，求解即可； （3）根据平移规律，设平移后的解析式为，将C点坐标代入求解即可． (1)解：∵抛物线经过点A， ∴ 解得x=6， ∴A（6，0）， ∵A点在直线y＝kx＋3上， ∴， ∴． (2)解∶∵直线y＝＋3与交于点C， ∴， 解得 ，， ∴C点坐标为（2，2）．