高一数学暑期精彩10讲第9讲(2022年新高二使用含详解)

第9讲　数列求和及综合应用 1．特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d． (2)等比数列的前n项和公式 Sn＝ 2．数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．裂项求和常用的三种变形：＝－；＝；＝－． (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解． 数列{(an＋b)qn－1}的前n项和为Sn＝(An＋B)qn－B，其中A＝，B＝． (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 3．数列放缩技巧 (1)＜＝． (2)－＜＜－． (3)2(－)＜＜2(－)． (4)＜＜，＜≤． 考点一　分组转化求和 例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2an－1，求数列{bn}的前n项和Tn． 例2 已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn． 考点二　裂项相消法求和 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－a1(n∈N+)，数列{bn}满足b1＝6，bn＝Sn＋＋4(n∈N+)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜． 例4 设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2． (1)证明：{an}为等比数列； (2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围． 考点三　错位相减法求和 例5 设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜． 例6 在①Sn＝2an＋1；②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1；③a＝anan＋2，S2＝－