高一数学暑期精彩10讲第8讲(2022年新高二使用含详解)

第8讲　等比数列及其前n项和 1．等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫作等比数列． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)． (2)如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab． 2． 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m． (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝． 3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an． (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm． (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn． 4．几个重要的结论 (1)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列． (2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0． (3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． (4)三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3． 考点一　等比数列基本量的运算 例1 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 例2 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21—n C．2－2n—1 D．21—n－1 例3 设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________． 例4 已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8． (1)求{an}