高一数学暑期精彩10讲第7讲(2022年新高二使用含详解)

第7讲　等差数列及其前n项和 1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就为等差数列． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)． (2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝＝na中． 3．等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列． (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列． 4．几个重要结论 (1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p． (2)在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． (3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 考点一　等差数列的基本运算 例1 记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 例2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝(　　) A． B． C．1 D．2 例3 记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 例4 记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5． (1)若a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 考点二　等差数列的判定与证明 例5 已知数列{a