专题20 【三年高考+一年模拟】概率综合题-备战2023年新高考数学真题模拟题分类汇编

专题20 概率综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】见解析 【详解】（1）补充列联表为： 不够良好 良好 合计 病例组 40 60 100 对照组 10 90 100 合计 50 150 200 计算， 所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． （2） 证明：； （ⅱ）利用调查数据，，，，， 所以． 2．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【答案】见解析 【详解】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100， 则， ， 所以的分布列为： 0 20 100 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为， 若小明先回答类问题，记为小明的累计得分， 则的所有可能取值为0，80，100， ， ， ， 则的期望为， 因为， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题． 3．（2020•山东）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表： ， ， ， ， 32 18 4 ， 6 8 12 ， 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： ， ， ， ， （3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？ 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】见解析 【详解】（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，可得下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表， 由， ； 故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关. 4．（2022•临沂一模）2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表： 销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计 线上销售时间不少于8小时 17 20 线上销售时间不足8小时 合计 45 （1）请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关； （2）①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数； ②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是，求的分布列及期望值． 【答案】见解析 【详解】（1）每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家， 每天线上销售时间不足8小时的企业有家，其中每天销售额不足30万元的企业有家， 故列联表如