专题19 【三年高考+一年模拟】立体几何综合题-备战2023年新高考数学真题模拟题分类汇编

专题19 立体几何综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由直三棱柱的体积为4，可得， 设到平面的距离为，由， ，，解得． （2）连接交于点，，四边形为正方形， ，又平面平面，平面平面， 平面，， 由直三棱柱知平面，，又， 平面，， 以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，又，解得， 则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， 则，2，，，1，，，0，， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，则，， 平面的一个法向量为，0，， 设平面的一个法向量为，，， ，令，则，， 平面的一个法向量为，1，， ，， 二面角的正弦值为． 2．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）方法一： 取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则， 所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，1，， 设，0，，则， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 又， 所以由，得， 令，则，，故， 因为二面角的大小为， 所以， 解得，所以， 又，所以， 故． 方法二： 过作，交于点，过作于点，连结， 由题意可知，，又平面 所以平面，又平面， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以， 则为二面角的平面角，即， 又， 所以，则， 故， 所以， 因为， 则， 所以，则， 所以，则， 所以． 3．（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：过在平面内作直线， 由，可得，即为平面和平面的交线， 平面，平面，， 又，，平面， ，平面； （2）如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，， 设，0，，，0，，，1，，，1，， 设平面的法向量为，，， 则，，取，可得，0，， ，， 与平面所成角的正弦值为 ，当且仅当取等号， 与平面所成角的正弦值的最大值为． 4．（2022•临沂一模）如图，四棱锥的底面是正方形，是棱的中点，是棱上的点，且，，，四点共面． （1）求证：为的中点； （2）若底面，二面角的大小为，求直线与平面所成的角． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：依题意，平面，平面，平面， 又平面，平面平面，，， 又，，即是的中点； （2）解：底面，底面，，又，， 平面，又平面，， 为二面角的平面角，，， 设，如图以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，1，， 依题意，2，，，1，，，0，， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，令，则，， 平面的一个法向量为，，， 设直线与平面所成角为， ，， ，， 直线与平面所成的角为． 5．（2022•青岛一模）如图①，在梯形中，，，，为的中点，以为折痕把折起，连接，，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题． （1）证明：； （2）请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值． ①四棱锥的体积为2； ②直线与所成角的余弦值为． 【答案】见解析 【详解】证明：在图①中， 因为为中点， 所以，， 所以为平行四边形， 所以， 同理可证， 在图②中，取中点，连接， 因为，所以，， 因为，所以平面， 因为平面， 所以； （2）若选择①：因为平面，平面， 所以平面平面且交线为， 所以过点作， 则平面， 因为， 所以四棱锥的体积， 所以，所以与重合，所以平面， 建系如图，则， 平面法向量为， 设平面法向量为，，， 因为， 所以，得， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的余弦值为； 若选择②：因为，所以即为异面直线与所成角， 在中，， 所以， 所以，即， 因为平面，平面， 所以平面平面且交线为， 所以平面， 建系如图， 则， 平面法向量为， 设平面法向量为，，， 因为， 所以，得， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的余弦值为． 6．（2022•淄博一模）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是以为斜边的直角三角形，为的中点，，，． （1）求证：直线平面； （2）若过的平面与侧棱，的交点分别为，，且，求直线与平面所成角的正弦值．