专题18 【三年高考+一年模拟】解三角形综合题-备战2023年新高考数学真题模拟题分类汇编

专题18 解三角形综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），，． ， 化为：， ， ，， ， ，． （2）由（1）可得：，，，， 为钝角，，都为锐角，． ， ，当且仅当时取等号． 的最小值为． 2．（2021•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：由正弦定理知，， ，， ，， 即， ， ； （2）法一：由（1）知， ，，， 在中，由余弦定理知，， 在中，由余弦定理知，， ， ， 即， 得， ， ， 或， 在中，由余弦定理知，， 当时，（舍； 当时，； 综上所述，． 法二：点在边上且， ， ， 而由（1）知， ， 即， 由余弦定理知：， ， ， ， 或， 在中，由余弦定理知，， 当时，（舍； 当时，； 综上所述，． 法三：在中，由正弦定理可知， 而由题意可知， 于是，从而或． 若，则，于是， 无法构成三角形，不合题意． 若，则， 于是，满足题意， 因此由余弦定理可得． 3．（2020•山东）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_______？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【详解】①． 中，，即， ，， ， ，，． ②． 中，，． ，即，． ， ． ③． ，即， 又， ， 与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在． 4．（2022•临沂一模）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题． 记的内角，，的对边分别为，，，为面积为，已知___． （1）求； （2）若，，求． 【答案】见解析 【详解】（1）若选①，由正弦定理可得， 因为，所以， 则， ，于是． 若选②，由题意，， 则， 而，于是． 若选③，由题意，， 因为，所以， 则． （2）由题意，， 由余弦定理． 5．（2022•青岛一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，边上的高为，求边． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由正弦定理及，知， 化简得， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2）由，及，知①， 设边上的高为，则， 所以的面积，即，化简得②， 由①②得，，即， 所以或（舍负）． 6．（2022•淄博一模）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 记的内角，，的对边分别为，，．若_____，求角的大小． 【答案】见解析 【详解】若选①，因为， 所以由正弦定理可得， 即， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． 若选②，因为， 所以由正弦定理可得，整理可得，即， 由余弦定理可得，可得， 因为，所以． 若选③，， 所以由正弦定理可得， 因为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以． 7．（2022•山东一模）如图，四边形中，． （1）若，求的面积； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）设，则，，， 在中，由，得， 在中，由，得， 联立上式，并由，得， 整理得， ， ， ， ， 解得， 故． 8．（2022•潍坊一模）在①，②边上的高为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答． 问题：记内角，，的对边分别为，，，已知，，______． （1）求的值； （2）设是的角平分线，求的长． 【答案】见解析 【详解】（1）选①，由，， 可得，即， 解得，； 选②边上的高为，由， 可得； ③，由，可得， ，可得为锐角，所以， 由可得，解得； （2）设，由， 可得， 化为， 解得， 则的长为． 9．（2022•日照一模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求角； （2）若，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），，且， ，得， 为锐角， ； （2）， 又，结合正弦定理可得， 由余弦定理可得，，即， ，解得（舍去），或． ． 10．（2022•济宁一模）在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由， 结合正弦定理得， 又，， ，即． ，， 则，即； （2）由余弦定理得，即． ，即． 当且仅当时，等号成立． 的面积． 故面积的最大值为． 11．（2022•泰安一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若为上一点，且，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）在中，因为， 所以由正弦定理得：， 即， 因为，， 所以，即， 因为， 所以． （2）在中，因为