专题17 【三年高考+一年模拟】数列综合题-备战2023年新高考数学真题模拟题分类汇编

专题17 数列综合题 1．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）已知，是公差为的等差数列， 所以，整理得，①， 故当时，，②， ①②得：， 故， 化简得：，，，，； 所以， 故（首项符合通项）． 所以． 证明：（2）由于， 所以， 所以． 2．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 【答案】（1），，，；（2）300 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以，， ，， 所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列， 所以． 另解：由题意可得，， 其中，， 于是，． （2）由（1）可得，， 则，， 当时，也适合上式， 所以，， 所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列， 则的前20项和为 ． 3．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和． 【答案】（1）；（2）480 【详解】（1）设等比数列的公比为， ，， ， 解得或（舍去）， ， ， （2）记为在区间，中的项的个数， ， ， 故，，，，，，， ，，，，，，，，，， 可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，， 由， 可知，． 数列的前100项和． 4．（2022•临沂一模）已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由①， 当时，， ， 代入计算可得， 当时，②， ①②得：， ， ， 是以为首项，4为公差的等差数列，， 是以为首项，4为公差的等差数列，， 由此可得：， ， ； （2）由已知有：，， ，， 故前项的和， ， ， ， ． 5．（2022•青岛一模）已知为等比数列，，，分别是下表第一、二、三行中的数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列，为等差数列，其前项和为，且，． 第一列 第二列 第三列 第一行 1 5 2 第二行 4 3 10 第三行 9 8 20 （1）求数列，的通项公式； （2）若，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，求数列的前100项的和． 【答案】（1），；（2）147 【详解】（1）由表可知，，，， 所以数列的首项为2，公比为2， 所以， 因为，，所以，解得，， 所以， 综上，，． （2）， 所以 ． 6．（2022•淄博一模）已知数列满足：，且．设． （1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：， 所以，又， 所以是首项为4，公比为2的等比数列， 则， 所以； （2）数列的前项和为 ． 7．（2022•山东一模）已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式： （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与，2，之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． 【答案】（1）；（2）142 【详解】（1）设的公差为，由已知，． 解得，．所以； （2）因为与，2，之间插入个1， 所以在中对应的项数为， 当时，， 当时，， 所以，，且， 因此． 8．（2022•潍坊一模）已知等比数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设数列的公比为，由，， 得，解得， 所以； （2）由 （1）可得，所以， ， ， 所以， 所以． 9．（2022•日照一模）已知数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前100项的和． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）当时，， 整理得， 又，得 则数列是以为首项， 为公比的等比数列． 则； （2）已知， 当， 时，， 当， 时，， 当， 时，， 当， 时，， 则 ． 10．（2022•济宁一模）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前100项和． 【答案】（1）；（2）102300 【详解】（1）设等差数列的公差为，，， ，， 解得，， ． （2） 时，数列的前10项和， 时，，，，， ， 同理可得：，，， 数列的前100项和 ． 11．（2022•泰安一模）已知各项均为正数的等差数列，，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，为数列的前项和，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，，，成等比数列，得， 即，解得或（舍去）． ； 证明：（2）由，得， ， 假设数列的前项和为，，则， ， 验证时成立． 要证，即证，只需证， 也就是证，即证，此式显然成立． ．