专题15 【三年高考+一年模拟】填空中档题-备战2023年新高考数学真题模拟题分类汇编

专题15 填空中档题 1．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 　　． 【答案】，， 【详解】，设切点坐标为，， 切线的斜率， 切线方程为， 又切线过原点，， 整理得：， 切线存在两条，方程有两个不等实根， △，解得或， 即的取值范围是，，， 故答案为：，，． 2．（2021•新高考Ⅰ）函数的最小值为 　　． 【答案】1 【详解】法一、函数的定义域为． 当时，， 此时函数在，上为减函数， 当时，， 则， 当，时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在上是连续函数， 当时，单调递减，当时，单调递增． 当时取得最小值为（1）． 故答案为：1． 法二、令，， 分别作出两函数的图象如图： 由图可知，（1）， 则数的最小值为1． 故答案为：1． 3．（2020•山东）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】 【详解】作垂直于，交、于、，垂足为，过点作垂直于，垂足为， 到直线和的距离均为，， 又，， ，， ，，， 由于是圆弧的切线， ，， 设大圆的半径为，则， ，， ，，解得， 图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积减去小半圆的面积， 所以． 故答案为：． 4．（2022•临沂一模）已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为 　　． 【答案】 【详解】过作，，， ， 侧棱长为， ，即， 则半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长， 故答案为：． 5．（2022•青岛一模）截角四面体（亦称“阿基米德多面体” 的表面由四个正三角形和四个正六边形组成，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得到的几何体．若一正四面体的棱长为3，则由其截得的截角四面体的体积为 　　． 【答案】 【详解】因为原正四面体的棱长为3， 则该正四面体的底面外接圆的半径为， 所以该正四面体的高为，底面积为， 所以该正四面体的体积为， 同理可得棱长为1的正四面体的体积， 则这个截角四面体的体积为． 故答案为：． 6．（2022•淄博一模）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则　　． 【答案】 【详解】， 两边取对数，可得， 令，可得， 线性回归方程， ，解得． 故答案为：． 7．（2022•山东一模）已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为 　　． 【答案】 【详解】根据题意，为上的奇函数，且， ，变形可得，即函数是周期为2的周期函数， 则， 为奇函数且当时，，则； 则； 故答案为：． 8．（2022•潍坊一模）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为 　　尺． 【答案】84 【详解】由题意，从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列， 设冬至日的日影长为尺，公差为尺， 所以，， 两式相减可得，，则， 因为夏至与芒种相邻，且夏至日晷最短，所以夏至的日晷长为， 因为大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，所以大雪的日晷长为， 显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首相为1.5尺，末项为12.5，共12项， 所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为， 故答案为：84． 9．（2022•日照一模）设函数已知，且，若的最小值为，则的值为 　　． 【答案】 【详解】令，由图象可知，． 因为，则，， 得，， 所以． 令， 则， 所以当时，在，上单调递减， 所以， 解得与矛盾，舍去； 当时，在，上单调递减，在，上单调递增， 所以，解得，符合题意． 综上可得． 故答案为：． 10．（2022•济宁一模）在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 　　． 【答案】 【详解】边长为6的菱形，在折叠的过程中， 当平面平面时，三棱锥的体积最大； 如图所示： 在平面中，设点为的中心，在平面中，设点为的中心； 由于， 取的中点，连接、， 所以， 则，， 故三棱锥的外接球的半径， 故． 故答案为：． 11．（2022•泰安一模）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中