专题12 【三年高考+一年模拟】多选压轴题-备战2023年新高考数学真题模拟题分类汇编

专题12 多选压轴题 1．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则　　 A． B． C．（4） D．（2） 【答案】 【详解】为偶函数，可得，关于对称， 令，可得，即（4），故正确； 为偶函数，，关于对称，故不正确； 关于对称，是函数的一个极值点， 函数在，处的导数为0，即， 又的图象关于对称，，函数在，的导数为0， 是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，， 由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，， 进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称， ，关于的对称点为，，，故正确； 图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故错误． 解法二：构造函数法， 令，则，则， ， 满足题设条件，可得只有选项正确， 故选：． 2．（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则　　 A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】 【详解】对于，当时，，即，所以， 故点在线段上，此时△的周长为， 当点为的中点时，△的周长为， 当点在点处时，△的周长为， 故周长不为定值，故选项错误； 对于，当时，，即，所以， 故点在线段上， 因为平面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 又△的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故选项正确； 对于，当时，取线段，的中点分别为，，连结， 因为，即，所以， 则点在线段上， 当点在处时，，， 又，所以平面， 又平面，所以，即， 同理，当点在处，，故选项错误； 对于，当时，取的中点，的中点， 因为，即，所以， 则点在线的上， 当点在点处时，取的中点，连结，， 因为平面，又平面，所以， 在正方形中，， 又，，平面， 故平面，又平面，所以， 在正方体形中，， 又，，平面，所以平面， 因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点，使得平面，故选项正确． 故选：． 3．（2020•山东）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量所有可能的取值为1，2，，，且，2，，，，定义的信息熵．　　 A．若，则 B．若，则随着的增大而增大 C．若，2，，，则随着的增大而增大 D．若，随机变量所有可能的取值为1，2，，，且，2，，，则 【答案】 【详解】．若，则，故，故正确； ．若，则，， 设，， 则， 令，解得，此时函数单调递减， 令，解得，此时函数单调递增，故错误； ．若，则， 由对数函数的单调性可知，随着的增大而增大，故正确； ．依题意知，，， ，，， ， 又， ， 又， ，，故错误． 故选：． 4．（2022•临沂一模）在平面四边形中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则　　 A．为等比数列 B．为递减数列 C．为等差数列 D． 【答案】 【详解】如图，连接交于点， 由的面积是面积的2倍， 得，即， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 是以1为首项，为公差的等差数列， ， 则，故不正确，正确； 恒成立， 即，则数列为递减列，故正确； ， ， ， ． 故选：． 5．（2022•青岛一模）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是　　 A．圆台母线与底面所成角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【答案】 【详解】圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点， 如图所示： 由于，，利用勾股定理，解得， 所以， 即圆台母线与底面所成的角为，故正确； 圆台的展开面如图所示： 对于：圆台的侧面积为，故错误． 根据比例关系求出，展开面为半圆环； 点为母线的中点， 所以， 根据设球心在圆台的中心连线上， 设到上底面的距离为， 所以，解得， 所以外接球的球心在圆台的下底面的圆心； 所以外接球的半径为2，故正确； 根据展开图：，故正确． 故选：． 6．（2022•淄博一模）某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中　　 A．众数可为3 B．中位数可为2 C．极差可为2 D．最大点数可为5 【答案】 【详解】对于，若5次都是3，满足题意，众数为3，符合题，故正确； 对于，若中位数为2，则出现2，2，2，4，5， 这组情况方差最小，但此时方差大于1，不符合题意，故错误； 对于，2，2，3，4，4，这种情况下满足方差小于1，符合极差为2，故正确； 对于，若最大点数为5，当方差最小时，该组数为2，2，3，3，5， 该组数的方差大于1，故错误． 故选：． 7．（2022•山东一模）已知双曲线，，为的左、右焦点，则　　 A．双曲线和的离心率相等 B．若为上