专题11 【三年高考+一年模拟】多选中档题-备战2023年新高考数学真题模拟题分类汇编

专题11 多选中档题 1．（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则　　 A．的准线为 B．直线与相切 C． D． 【答案】 【详解】点在抛物线上， ，解得， 抛物线的方程为，准线方程为，选项错误； 由于，，则，直线的方程为， 联立，可得，解得，故直线与抛物线相切，选项正确； 根据对称性及选项的分析，不妨设过点的直线方程为，与抛物线在第一象限交于，，，， 联立，消去并整理可得， 则，，， ， 由于等号在时才能取到，故等号不成立，选项正确； ，选项正确． 故选：． 2．（2021•新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则　　 A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】 【详解】，， 过、的直线方程为，即， 圆的圆心坐标为， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离的范围为，， ，，， 点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误； 如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大）， 此时， ，故正确． 故选：． 3．（2020•山东）已知，，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】①已知，，且，所以，则，故正确． ②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确． ③，故错误． ④由于，，且， 利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确． 故选：． 4．（2022•临沂一模）甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示取出的球是红球的事件，则　　 A．与互相独立 B．，，两两互斥 C． D． 【答案】 【详解】事件 的发生与事件 的发生有影响，因此事件 的发生与事件 不独立， 错； ，，中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，正确； ，正确； ，错． 故选：． 5．（2022•青岛一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为6 B．△的面积为 C．△的内切圆的半径为 D．△的外接圆的直径为 【答案】 【详解】由题意知，，，， 由椭圆的定义知，，， 所以△的周长为，即选项正确； 将，代入椭圆方程得，，解得， 所以△的面积为，即选项正确； 设△的内切圆的半径为，则，即， 所以，即选项正确； 不妨取，，则，， 所以△的面积为，即，所以， 由正弦定理知，△的外接圆的直径，即选项错误． 故选：． 6．（2022•淄博一模）若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有　　 A． B．直线的方程为 C．中点的轨迹方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【答案】 【详解】两圆方程相减可得直线的方程为，即， 因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦的长为1，则到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，故错误，正确； 由圆的性质可知直线垂直平分线段．所以到直线的距离即为中点与点的距离， 设中点坐标为，因此，即，故正确； 因为，所以，即圆中弧所对的圆心角为，所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 所以圆与圆公共部分的面积为，故错误． 故选：． 7．（2022•山东一模）如图，正三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，为中点，则　　 A．直线平面 B．点到平面的距离为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．设，分别在线段，上，且，则的最小值为 【答案】 【详解】在正三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，为中点， ， 如图，建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，，，，0，，，0，，，1，，，，， ，1，，，0，，，，， 设平面的法向量，，， 则，令，则，3，， ，， 平面，平面，故正确； ，1，，， 点到平面的距离为，故正确； ，1，，，1，， 设直线与所成角为， 则， 异面直线与所成角的余弦值为，故错误； 设，则，， ，1，，，，，，，，， 则，， ， 当时，，故正确． 故选：． 8．（2022•潍坊一模）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是　　 A．圆关于轴的对称圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于、两点，则面积的最大值为 【答案】 【详解】对于：由于圆的方程为：，转换为标准式为，则圆关于轴对称的圆的方程为，即，故正确； 对于：反射光线平分圆的周长，故该反射光线经过圆心，故入射光线的斜率，所以入射光线的方程为，整理得，故正确； 对于：由于反射光线经过点的关于轴的对称点，则， 如图所示：