高效作业11 同角三角函数的基本关系-【优化探究】2022高一数学暑假高效作业（新教材版，北师大版）

１２．解析:(１)设OM→＝ma＋nb(m,n∈R),由A,D,M 三点共线, 可知存在α(α∈R,且α≠－１)使得AM→＝αMD→, 则OM→－OA→＝α(OD→－OM→),又OD→＝１２OB →, 所以OM→＝ １１＋αa＋ α ２(１＋α)b , 所以 m＝ １１＋α , n＝ α２(１＋α) , ì î í ï ï ïï 所以m＋２n＝１①, 由B,C,M 三点共线, 可知存在β(β∈R,且β≠－１)使得CM →＝βMB→, 则OM→－OC→＝β(OB→－OM→),又OC→＝１３OA →, 所以OM→＝ １３(１＋β)a＋ β １＋β b, 所以 m＝ １３(１＋β) , n＝ β１＋β , ì î í ï ï ïï 所以３m＋n＝１②, 由①②得m＝１５ ,n＝２５ ,故OM→＝１５a＋ ２ ５b． (２)能得出一般结论:不论 E,F 在线段AC,BD 上如何变 动,等式１ λ＋ ２ μ ＝５恒成立． 理由:由于E,M,F 三点共线, 则存在实数γ(γ∈R,且γ≠－１),使得EM→＝γMF→, 于是OM→＝OE →＋γOF→ １＋γ , 又OE→＝λOA→,OF→＝μOB→, 所以OM→＝λOA →＋μγOB→ １＋γ ＝ λ １＋γa＋ μγ １＋γb , 所以１ ５a＋ ２ ５b＝ λ １＋γa＋ μγ １＋γb , 从而 １ ５＝ λ １＋γ , ２ ５＝ μγ １＋γ , ì î í ï ï ïï 消去γ整理得１λ＋ ２ μ ＝５． 高效作业(十一) 知识乐园 １．(１)sin２α＋cos２α＝１ ２．(１)sinαcosα＝tanα 演练天地 １．D　由sin２α＋cos２α＝１,得４m２＝１,m＝±１２． ２．C　原式＝sin ２α＋２sinαcosα＋cos２α sin２α－cos２α ＝tan ２α＋２tanα＋１ tan２α－１ ＝－１３． ３．C　tanα＋ １tanα＝ sinα cosα＋ cosα sinα＝ １ sinαcosα． ∵sinαcosα＝１－ (sinα－cosα)２ ２ ＝－ １ ８ , ∴tanα＋ １tanα＝－８． ４．A　由sin４θ＋cos４θ＝５９ , 得(sin２θ＋cos２θ)２－２sin２θcos２θ＝５９ , ∴sin２θcos２θ＝２９． ∵θ是第三象限角, ∴sinθ＜０,cosθ＜０, ∴sinθcosθ＝ ２３． ５．B　lg(１＋sinA)＝m,lg(１－sinA)＝－n, 所以lg(１－sin２A)＝m－n, 所以lg(cos２A)＝m－n, 所以lg(cosA)＝１２ (m－n)． ６．C　 tanx＋ １tanx( ) 􀅰sin ２x＝ sinxcosx＋ cosx sinx( ) 􀅰sin ２x＝ sin２x＋cos２x sinxcosx 􀅰sin２x＝sinxcosx＝tanx． ７．解析:因为α为第二象限角且sinα＝４５ , 所以cosα＝－ １－sin２α＝－３５ ,所以tanα＝sinαcosα＝ ４ ５ －３５ ＝－４３． 答案:－４３ ８．解析:∵a＝(３,４),b＝(sinα,cosα),且a∥b, ∴３cosα－４sinα＝０． ∴tanα＝３４． 答案:３ ４ ９．解析:因为２是第二象限角, 所以原式＝ sin２２－２sin２cos２＋cos２２ ＝|sin２－cos２|＝sin２－cos２． 答案:sin２－cos２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 １０．解析:由已知得sinα＋cosα＝１２ ,sinα􀅰cosα＝－m２． ∵(sinα＋cosα)２＝１＋２sinα􀅰cosα＝１－m＝１４ , ∴m＝３４ ,满足Δ＝１＋８m＞０． 答案:３ ４ １１．解析:(１)２cos２α＋３cosαsinα－３sin２α＝ ２cos２α＋３cosαsinα－３sin２α sin２α＋cos２α ＝２＋３tanα－３tan ２α tan２α＋１ ＝１, 即４tan２α－３tanα－１＝０, 解得tanα＝－１４ 或tanα＝１． ∵α∈ －３π２ ,－π( )