高效作业08 向量的数量积-【优化探究】2022高一数学暑假高效作业（新教材版，北师大版）

所 以 F,P,C 三 点 共 线,且 PF＝PC,S△APC ＝S△APF ,又 S△APF＝ １ ２S△APB ,所以S△APC S△APB ＝１２． 答案:１ ２ １１．解析:(１)证明:因为AB→＝e１＋e２, BD→＝BC→＋CD→＝２e１＋８e２＋３e１－３e２＝５(e１＋e２)＝５AB→, 所以AB→,BD→共线． 又因为有公共点B,所以A,B,D 三点共线． (２)因为４ke１＋e２ 与e１＋ke２ 共线, 所以存在λ,使４ke１＋e２＝λ(e１＋ke２), 即(４k－λ)e１＝(λk－１)e２,由于e１ 与e２ 不共线, 所以只能有 ４k－λ＝０, λk－１＝０,{ 所以k＝± １ ２． １２．证明:设AB→＝a,AC→＝b． ∵AP→＝mAB→,AQ→＝nAC→, ∴AP→＝ma,AQ→＝nb． 如图,连接AG 并延长交BC 于点D, 则AD 为BC 边上的中线, ∴AD→＝１２(a＋b), ∴AG→＝２３AD →＝１３(a＋b), ∴PG→＝AG→－AP→＝１３(a＋b)－ma＝ １ ３－m( )a＋ １ ３b , GQ→＝AQ→－AG→＝nb－１３(a＋b)＝－ １ ３a＋ n－ １ ３( )b． 又∵PG→与GQ→共线,∴存在实数λ,使PG→＝λGQ→, ∴ １３－m( )a＋ １ ３b＝－ １ ３λa＋λ n－ １ ３( )b, ∴ １ ３－m＝－ １ ３λ , １ ３＝λ n－ １ ３( ) , ì î í ï ï ïï 消去λ得m＋n＝３mn． 又由题意,知m≠０,n≠０,∴１m＋ １ n＝３． 高效作业(八) 知识乐园 １．|a||b|cosθ　|a||b|cosθ　０ ２．OM１ →　|a|cosθe ３．(３)|a||b|　－|a||b|　|a|２　 a􀅰a　(４)≤ 演练天地 １．ABC　由数量积的交换律,知 A 正确;由数量积的运算律知 a􀅰３c＝３a􀅰c＝c􀅰３a,故B正确;由数量积的分配律,知C正 确;数量积的运算不满足结合律,故 D错误． ２．B　由已知得B＝π４ ,所以BA→在BC→上的投影向量为|BA→|􀅰 cosB􀅰e＝ ２２e． ３．D　∵b＝AC→－AB→＝BC→,∴|b|＝|BC→|＝２,故 A 错误;∵BA→ 􀅰BC→＝２×２×cos６０°＝２,即－２a􀅰b＝２,∴a􀅰b＝－１,故 B、C错误;∵(４a＋b)􀅰BC→＝(４a＋b)􀅰b＝４a􀅰b＋b２＝－４ ＋４＝０,∴(４a＋b)⊥BC→． ４．C　由题意得|a＋mb|２＝a２＋２ma􀅰b＋m２b２＝１＋６５m＋m ２ ＝ m＋３５( ) ２ ＋１６２５ ,故当m＝－３５ 时,|a＋mb|２ 取得最小值 １６ ２５ ,此时|a＋mb|取得最小值４５． ５．B　因为(a－b)⊥b,所以(a－b)􀅰b＝a􀅰b－|b|２＝０,又因为 |a|＝２|b|,所以２|b|２cos‹a,b›－|b|２＝０,即cos‹a,b›＝１２ , 又知‹a,b›∈[０,π],所以‹a,b›＝π３． ６．C　①由OA→􀅰OB→＝OB→􀅰OC→可得OA→􀅰OB→－OB→􀅰OC→＝０,即 (OA→－OC→)􀅰OB→＝０,∴CA→􀅰OB→＝０,即OB⊥AC,同理可得 OC⊥AB,OA⊥BC,即O 是△ABC的垂心; ②向量 AC → |AC→| ,AB → |AB| 分别表示在边AC 和AB 上取单位向量 AC′→ 和 AB′→, 它 们 的 差 是 向 量 B′C′→, 当 OA→ 􀅰 AC→ |AC→| － AB → |AB→| æ è ç ö ø ÷＝０,即OA⊥B′C′时,点O 在∠BAC的平分 线上,同理由OB→􀅰 BC → |BC→| － BA → |BA→| æ è ç ö ø ÷＝０,知点O 在∠ABC 的 平分线上,故O 为△ABC的内心; ③以 OA,OB 为 邻 边 作 平 行 四 边 形OADB,则OA→＋OB→＝ OD→,所以(OA→＋OB→)􀅰AB→＝０表示这个平行四边形是菱形, 即|OA→|＝|OB→|,同 理 有|OB→|＝|OC→|,故 O 为 △ABC 的 外心． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋