第一章 章末复习课-(配套课件）2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

章末复习课 第一章　集合与常用逻辑用语 一、集合的基本概念 二、集合间的基本关系 三、集合的基本运算 内容索引 知识网络 随堂演练 四、充分条件与必要条件 五、全称量词与存在量词 2 知识网络 3 4 一、集合的基本概念 1.理解集合的概念、集合的特点、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换. 2.掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养. 例1　已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 A.1 B.3 C.5 D.9 解析　①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2； ②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1； ③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0. 综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个. √ 反思感悟　解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 跟踪训练1　(多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的取值不可以为 A.2 B.3 C.0 D.－2 解析　由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾； 若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3， 当m＝0时，与m≠0相矛盾， 当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意； 当m＝－2时，m2－3m＋2＝12，此时集合A＝{0，－2,12}，不符合题意. √ √ √ 二、集合间的基本关系 1.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围. 2.掌握集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例2　已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，若B⊆A， 则实数a的取值范围为________________. 解析　因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅. 画数轴如图所示. 由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1. 反思感悟　处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏. 跟踪训练2　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是_______. m≤4 解析　若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则1<m≤4. 综上可知m≤4. 三、集合的基本运算 1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 2.掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3　(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则 √ √ 反思感悟　(1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解； (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 跟踪训练3　已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 因此M∩N中的元素个数为2. 四、充分条件与必要条件 1.若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养. 例4　设集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|2－a<x<2＋a}. (1)若a＝2，求A∪B和A∩B； 解　A＝{x|－1<x<3}. 因为a＝2，所以B＝{x|0<x<4}， 所以A∪B＝{x|－1<x<4}，A∩B＝{x|0<x<3}. (2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解　因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA， 当B＝∅时，2－a