§2.3　第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式-(配套课件）2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式 第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元 二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、 方程的联系. 学习目标 随堂演练 课时对点练 一、一元二次不等式的定义 二、一元二次不等式的解法 三、含参的一元二次不等式的解法 内容索引 3 一、一元二次不等式的定义 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m. 由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0<x<12}. ① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案. 知识梳理 定义 一般地，我们把只含有一个　　　 ，并且未知数的最高次数是 　的不等式，叫做一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2 未知数 二、一元二次不等式的解法 问题2　如课本51页图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？ 提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根. 知识梳理 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的　　. 注意点：零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标. ax2＋bx＋c＝0 零点 问题3　你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找x2－12x＋20<0的解集吗？ 提示　从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2<x<10}. 知识梳理 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _______________ ___ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ ___ ___ {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集；(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 例1　 (教材P52例1,2,3改编)解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； 解　原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， 所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)－x2＋6x－9≥0； 解　原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}. (3)x2－2x－3>0. 解　方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}. 反思感悟　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 跟踪训练1　解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； 解　方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知， 原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}. (2)(2－x)(x＋3)<0. 解　原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知， 原不等式的解