§2.3　第1课时　一元二次函数与方程-(配套课件）2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

第1课时　一元二次函数与方程 第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 1.能熟练运用十字相乘法分解因式. 2.掌握一元二次函数的表达式与图象. 3.理解一元二次函数与一元二次方程的关系. 学习目标 同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之，秦九韶等大家都耳熟能详的名字，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌.既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了，实际上，对于求解一元二次方程方法很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法，请同学们看下面的问题1. 导语 随堂演练 课时对点练 一、十字相乘法因式分解 二、一元二次方程 三、一元二次函数与图象 内容索引 4 一、十字相乘法因式分解 例1　分解下列因式： (1)x2＋4x＋3； 解　x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3). (2)5x2－6x＋1； 解　5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1). (3)m2＋2mn－3n2； 解　m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n). (4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0). 解　ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1). 反思感悟　(1)判定能否使用十字相乘法分解因式时，使用Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘. (2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止. 跟踪训练1　(1)因式分解：x2＋3x－10＝____________. 解析　 (x＋5)(x－2) x2＋3x－10＝(x＋5)(x－2). (2)因式分解：x2－(a2＋a＋1)x＋a2(a＋1). 解　由题意，利用十字相乘法，可得x2－(a2＋a＋1)x＋a2(a＋1)＝(x－a2)[x－(a＋1)]. 二、一元二次方程 问题1　请同学们写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式以及根与系数的关系？ 例2　求下列方程的根： (1)x2＋3x＋2＝0； 解　x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)＝0， ∴x＝－1或x＝－2. (2)x2＋x－1＝0； 解　对于x2＋x－1＝0，由Δ＝1－(－4)＝5>0， (3)ax2＋(a＋1)x＋1＝0(a≠0). 解　ax2＋(a＋1)x＋1＝(ax＋1)(x＋1) 反思感悟　求一元二次方程的根需注意： (1)首先要把方程变成一般形式. (2)注意方程有实根的前提条件是Δ＝b2－4ac≥0. (3)注意a，b，c应包含各自的符号. (4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别. (5)对求出的根进行化简. 解　由根与系数的关系得， 三、一元二次函数与图象 问题2　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？ 提示　①当Δ>0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，此时，二次函数与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标. ②当Δ＝0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根x1＝x2，此时，二次函数与x轴有1个交点，x1(x2)即为交点的横坐标. ③当Δ<0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，此时，二次函数与x轴没有交点. 例3　已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 A.k<4 B.k≤4 C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3 √ 解析　由题意可知k－3≠0， 且(k－3)x2＋2x＋1＝0有实数根， ∴Δ＝4－4(k－3)≥0，即k≤4， 综上，k≤4且k≠3. 延伸探究 1.若把例题中的“二次函数”去掉，求k的取值范围. 解　此时k－3可以为0，故此时应选B. 2.若函数与x轴有两个交点，求k的取值范围. 解　Δ>0，故有k<4且k≠3. 3.若函数与x轴无交点，求k的取值范围. 解　Δ<0，故有k>4. 反思感悟　(1)会通过Δ＝b2－4ac的符号判断二次函数的图象与x轴交点的个数. (2)二次项含参时，要注意题目中是否强调是二次函数，如没有强调，需分类讨论. 跟踪训练3　已知y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是 A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b √ 解析　设y1＝(x－a)(x－b)， 则y1向上平移2个单位长度得到y的图象， 由图易知a<α<β<b. 1.知识清单： (1)十字相乘法因式分解. (2)一元二次方程