§2.2　第2课时　基本不等式在实际问题中的应用-(配套课件）2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

第2课时　基本不等式在实际问题中的应用 第二章　§2.2　基本不等式 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题. 学习目标 同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问 导语 作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！ 随堂演练 课时对点练 一、基本不等式在生活中的应用 二、基本不等式在几何中的应用 内容索引 4 一、基本不等式在生活中的应用 问题　利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？ 提示　一正：x，y都得是正数； 二定：积定和最小，和定积最大； 三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要. 例1　(教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. 解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 方法一　由已知xy＝16， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时， 所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时， 所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 延伸探究　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解　由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy， 可得xy≤9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立. 因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 跟踪训练1　要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价. 解　设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元， 由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m， 所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80， 当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 因此，该容器的最低总造价为160元. 二、基本不等式在几何中的应用 例2　如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； 解　矩形ABCD(AB>BC)的周长为24， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA， 所以AP＝PC，从而得DP＝PB′， ∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP， 在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2， ∵AB>BC＝AD，得x>12－x， ∴6<x<12， (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值. 解　在Rt△ADP中， 反思感悟　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 跟踪训练2　如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝_____时，矩形花坛AMPN的面积最小. 4 1.知识清单： (1)基本不等式在生活中的应用. (2)基本不等式在几何中的应用. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围. 课堂小结 随堂演练 1.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为 A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 √ 1 2 3 4 解析　设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0， 由题意可得2(x＋y)＝8， 所以x＋y＝4， 当且仅当x＝y＝2时取等号， 所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.