§2.2　第1课时　基本不等式-(配套课件）2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

第1课时　基本不等式 第二章　§2.2　基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 学习目标 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 导语 随堂演练 课时对点练 一、基本不等式的证明与理解 二、求简单代数式的最值 三、最值定理 内容索引 4 一、基本不等式的证明与理解 问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 故正方形的面积为a2＋b2， 而四个直角三角形的面积为2ab， 故有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立. 实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式. 问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用 分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？ 当且仅当a＝b时，等号成立. 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) 当且仅当a＝b时，等号成立. 方法二　(性质法) 当且仅当a＝b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD， 由于CD小于或等于圆的半径， 由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则 ，当且仅当　　 时，等号成立. 2.其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 3.两个正数的算术平均数　　　它们的几何平均数. a＝b 不小于 二、求简单代数式的最值 解　因为x>0， 因为x<0，则－x>0， 故原式的最大值为－4. 解　因为x>1，故有x－1>0， 因此所求最小值为5. 反思感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，故三点缺一不可. √ √ 解析　A中，∵a，b为正实数， B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab， 三、最值定理 问题4　你能写出基本不等式的几种变形吗？ 由此我们发现若两个正数的和为定值时， 我们可以求这两个数乘积的最大值， 若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值. 知识梳理 最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时， 积xy有最大值 ，简记为：积定和最小，和定积最大. 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换. 例2　(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 解析　因为x>0，y>0， √ 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. (2)已知0<x< ，则y＝x(1－2x)的最大值为____. 反思感悟　通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 跟踪训练2　(1)当x取什么值时，x2＋ 取得最小值？最小值是多少？ (2)已知－1≤x≤1，求1－x2的最大值. 解　当x＝±1时，1－x2＝0. 当－1<x<1时，1－x>0,1＋x>0， 当且仅当1＋x＝1－x， 即x＝0时取等号. ∴1－x2的最大值为1，此时x＝0. 1.知识清单： (1)基本不等式的推导与证明. (2)求简单代数式的最值. (3)最值定理. 2.方法归纳：拼凑法. 3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是