1.2空间向量基本定理（练案）-【新教材精创】 2022-2023学年高二上学期数学同步备课 (人教A版2019选择性必修第一册)

班级： 姓名： 日期： 《1.2空间向量基本定理》练案 1.设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，，构成空间的另一个基底的向量是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意和空间向量的共面定理，结合， 得与是共面向量，同理与是共面向量， 所以与不能与构成空间的一个基底； 又与和不共面，所以与构成空间的一个基底．故选C． 2.以下四个命题中正确的是（ ） A．基底中可以有零向量 B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是 D．空间向量的基底只能有一组 【答案】B 【解析】因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确； △ABC为直角三角形并不一定是可能是也可能是,故C不正确； 空间基底可以有无数多组，故D不正确.故选B. 3.（2022·江苏盐城市）在三棱锥中，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意是中点，∴， 又，则， ∴， 若，则．故选C． 4.（2022·山东济宁市）在空间四边形中，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 .故选C. 5.（多选）（2022·广东广州市高二期末）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】分别是的中点，，故A正确； ， ，， ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确.故选ABD. 6.（2022·湖南常德市）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________. 【答案】 【解析】 如图设，，， 所以 ， 因为 , 所以. 7.如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证． 【解析】 因为正方体，所以，平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以. 8.（2022·天津市）在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点. （1）构成空间的一个基底，用它们表示，，设，，. （2）求与的夹角. 【解析】（1）因为，， 所以，； （2）因为 ， 所以，所以与的夹角为. 9.（2022·安徽池州市高二期末）如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：依题意，. 因为为等边三角形，，，， ， 所以 .故选D． 方法二：，，， ∴, ，即. ∵，， ，．故选D． 10.（多选）（2022·江苏南通市高二期末）设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A．存在不全为零的实数，，，使得 B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有 D．存在另一个基底，使得 【答案】BCD 【解析】 A选项，假设存在不全为零的实数，，，使得，不妨令，则，此时，，共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，故A错； B选项，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，即B正确； C选项，因为，，而不能由，表示出，即向量，，不共面，因此，，可以构成一组基底，即C正确； D选项，若与都是构成空间的基底，如果，若，，，则， 即与是不同的基底，故D正确．故选BCD. 11.（2022·陕西西安市长安一中高二期末）如图，在平行六面体中，点M是棱的中点，连结，交于点P，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，可得， 点M是棱的中点，所以， 所以.故选B. 12.已知四面体OABC，，．求证：． 【解析】 因为, 所以, 因为，， 所以， 所以，即. 13.（2022·四川成都市树德中学高二月考）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点， 为的重心，可得， 而， ， 所以，， 所以，，因此，.故选C. 14.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 【解析】（1）连接，如图： 因为，，，在，根据向量减法法则可得： 因为底面是平行四边形，故 因为 且， 又为线段中点， 在中， （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都