1.2空间向量基本定理（导学案）-【新教材精创】 2022-2023学年高二上学期数学同步备课 (人教A版2019选择性必修第一册)

《1.2空间向量基本定理》 导学案 参考答案 新课导学 （一）新知导入 （二）空间向量基本定理 知识点1 空间向量基本定理 【思考】　＝a＋b＋c，表示是唯一的，这三个向量a，b，c不共面． 【探究1】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底． 【探究2】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．空间的基底唯一吗？ 【提示】不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底． 【探究4】平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的． 【辩一辩】 答案: (1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 【做一做1】 解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底． 答案：D 【做一做2】 解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c. 答案：－a＋b－c 【做一做3】 解：＝(＋)＝＋×(＋)＝＋＋＝(＋＋)． 知识点2 正交分解 【思考】　{e1，e2，e3}能作为空间的一个基底，＝＋＋＝3e1＋3e2＋3e3.　 （三）典型例题 【例1】 解析：如图所示，令，， 则，，，， .由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，故选C. 答案：C 【巩固练习1】 解析：对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底； 对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误； 同理选项D中，共面，故D错误.故选C. 答案：C 【例2】 解析:连接并延长交于点，连接，则为的中点，且， ， ， 为的中点，.故选A. 答案：A 【巩固练习2】 解析：连接DN，如图所示， 四面体ABCD中，＝，＝，＝， 点M在棱DA上，且＝3，∴，又N为BC中点，∴； ∴．故选C. 答案：C 【例3】（1）解：设，，， 根据题意得，且，∴，. ∴，∴，即. （2）解：∵，∴，， ∵，∴. ∴异面直线与所成角的余弦值为. 【巩固练习3】 解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c. (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， ∴|a＋b＋c|＝， ∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝. （四）操作演练 素养提升 答案：1.D 2.A 3.A 4.B 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 班级： 姓名： 日期： 《1.2空间向量基本定理》导学案 地 位： 本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019） 第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量基本定理 学习目标： 1.了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养； 2.掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养； 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。 学习重难点： 重点：掌握空间向量基本定理 难点：用空间向量基本定理解决有关问题. 自主预习： 1. 本节所处教材的第 页. 2. 复习—— 1　 向量的线性运算： 2　 平面向量基本定理： 3. 预习—— 空间向量基本定理： 正交分解： 新课导学 学习探究 （一）新知导入 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ （二）空间向量基本定理 知识点1 空间向量基本定理 【思考】观察如图所示的平行六面体，已知＝a，＝b，＝c，请运用空间向量的线性运算知识，用a，b，c表示向量，表示唯一吗？此时这三个向量a，b，c共面吗？ ◆(1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋y