1.2 第2课时 空间向量基本定理的初步应用-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第2课时　空间向量基本定理的初步应用 知识点一　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使p＝xa＋yb. 知识点二　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点三　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 题型一、证明平行、共面问题 1．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：． 2．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）． 3．已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________. 题型二、求夹角、证明垂直问题 1．在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证: （1）AB1⊥BC； （2）A1C⊥平面AB1C1. 2．如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，E为的中点． （1）证明：； （2）求直线与所成角的余弦值． 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值． 4．如图，在空间四边形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是________． 题型三、求距离（长度）问题 1．如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于_____． 2．如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为，点，分别是棱，上的点，且，，则的长为______． 3．如图，在平行六面体中，，， 则___． 4．如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离． 1．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.求证：BF∥ED′. 2．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1． （1）证明：A，E，C1，F四点共面； （2）试用表示． 3．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，求证：E，F，B，D四点共面． 4．已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数______． 5．如图，在三棱柱中，，D，E分别是的中点.求证： （1）平面； （2）平面.(用向量方法证明) 6．如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，，设，，. （1）用，，表示，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 7．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 8．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为________ 9．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求： (1)的值. (2)线段AC1 的长 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，是的中点，在线段上且． （1）用向量，，表示向量； （2）求向量的模长． 1．二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________. 2．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________. 3．已知是空间两个向量，若，则________． 4．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，有，且A，B，C，M四点共面，则________． 5．如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为______． 6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号) ① (＋＋)2＝2()2 ； ②·(－)＝0 ； ③向量与的夹角是60°； ④BD1与AC所成角的余弦值为. 7．如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若，求x，y的值． 8．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面. 9．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值． 10．底面为正三角形的斜棱柱中，为的中点，求证：平面 11．如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面． 12．如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，