1.1.1 空间向量及其线性运算-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章《空间向量与立体几何》 1.1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 知识点一　空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使p＝xa＋yb. 题型一、空间向量的有关概念 1．下列说法正确的是（       ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 2．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（       ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量，，满足，，则 题型二、空间向量的加减运算 1．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（       ） ①；                                 ②； ③；                                 ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式． (1)＋. (2)＋－. (3)＋＋ (4)＋＋＋＋. 题型三、空间向量的线性运算 1．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3). 2．如图，在长方体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（       ） A． B． C． D． 题型四、空间共线向量定理 1．如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 2．已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值． 3．在空间四边形ABCD中，，，则________. 题型五、空间共面向量定理 1．下列向量关系式中，能确定空间四点P，Q，R，S共面的是（       ） A． B． C． D． 2．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足. （1）判断，，三个向量是否共面； （2）判断点是否在平面内. 4．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 1．下列命题中，真命题是（　　） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量. (1)； (2). 3．直三棱柱中，若，，，则（       ） A． B． C． D． 4．如图，已知O､A､B､