1.4.2 第2课时 夹角问题-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第2课时　夹角问题 知识点一　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 知识点二　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n， 则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 题型一、两条异面直线所成的角 1．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 2．如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______. 3．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点 (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的大小. 4．如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2. (1)求与所成的角； (2)求直线与面所成的角的余弦值. 题型二、直线与平面所成的角 1．如图，在三棱锥中，，点O､M分别是､的中点，底面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 2．如图，在中，，为边上一点，且，平面，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，， ＝＝． (1)证明：； (2)点在棱上，且＝，求直线与平面的夹角的正弦值. 题型三、两个平面的夹角 1．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，M是PA的中点. (1)证明：； (2)若，求平面PBC与平面BCM所成角的大小. 2．如图1，矩形中，，，为上一点且.现将沿着折起，使得，得到的图形如图2. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 3．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，且边长为，，， 与交于点． (1)求证：平面 (2)求二面角的余弦值． 1．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 2．已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______ 3．在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点， (1)求证：平面ADE； (2)求与所成的角的大小. 4．如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，； (1)求证：直线面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 5．如图所示，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角． 6．如图，在正三棱柱中，P为的中点，Q为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若，求AC与平面所成角的正弦值. 7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，点E为线段PC的中点，且． (1)证明：； (2)求直线PB与平面ADE所成角的正弦值． 8．如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱的中点，平面． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 9．在四棱锥中，，平面平面. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 10．在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点，N为CD中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 11．如图，且，，且，且，平面ABCD，. (1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE； (2)求二面角的正弦值； 1．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 2．在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（       ） A． B． C． D． 3．已知正四面体VABC的棱长为2，E，F分别是棱VA，BC的中点，则该正四面体外接球的表面积为___________． 异面直线BE与VF所成角的余弦值为___________． 4．在三棱锥中，已知是边长为的正三角形，平面，、分别是、的中点，若异面直线、所成角的余弦值为，则的长为______，三棱锥的外接球表面积为______．        【答案】          5．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______