1.4.2 第1课时 距离问题-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 知识点一　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识点二　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 题型一、点到直线的距离 1．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 2．如图，在长方体中，，，，点M是AD的中点，求点M到直线的距离． 3．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E，F分别是棱和的中点．求证：，并求它们的距离． 题型二、点/直线到平面的距离 1．如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为______． 2．如图，是正四棱锥，是正方体，其中，． (1)求该几何体的表面积； (2)求点到平面PAD的距离． 3．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，为的中点，点为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 题型三、平面到平面的距离 1．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点． (1)求证：平面平面EFG； (2)求平面与平面EFG间的距离． 2．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（       ） A． B． C． D． 题型四、异面直线的距离 1．如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______. 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求异面直线与间的距离； （2）在侧面PAB内找一点N，使平面，并求出N到AB和AP的距离. 1．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（       ） A． B． C． D． 2．已知在正方体中，棱长为2，E为的中点.则点到直线的距离为____. 3．长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 4．在正方体棱长为2的中，如图所示，E是的中点，则直线与平面BDE的距离是（       ） A． B． C． D． 5．如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求： (1)顶点B到平面的距离； (2)直线到平面的距离． 6．如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点， 求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离. 7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 8．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 9．（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（       ） A．异面直线AC与所成的角为 B．是平面的一个法向量 C．直线到平面的距离为 D．平面与平面间的距离为 10．在四棱锥中，面，底面为矩形，，，为中点，则异面直线与之间的距离为_______. 1．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 （       ） A． B． C． D． 2．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 3．如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（       ） A．异面直线与直线所成的角的大小 B．平面与平面所成的角的大小 C．直线到平面距离的大小 D．异面直线，之间的距离的大小 4．（多选）在空间直角坐标系中，，则（       ） A． B．点B到平面的距离是2 C．异面直线与所成角的余弦值 D．点O到直线的距离是 5．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（       ） A． B．向量与所成角的余弦值为 C．平面的一个法向量是 D．点D到直线的距离为 6．已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段BC上动点，则（1）的最小值为______；（2）点F到直线DE距离的最小值为______. 7．在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________． 8．已知点，直线过点，且一个方向向量为，则点到直线的距离为___________. 9．正方体的棱长为1，E､F分别为､CD的中点，求