1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 知识点一　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 把＝a代入①式得＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 知识点三　空间中平面的向量表示式 1．平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 2．平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 题型一、直线的方向向量 1．直线的方向向量 （1）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上的任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得，把与_________的_________向量称为直线l的方向向量． （2）直线可以由_________和它的_________确定． 2．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（       ） A． B． C． D． 3．如图所示，在四棱柱所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有________. 4．已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为的直线上的一点，若，则点P的坐标是________． 题型二、求平面的法向量 1．直线的方向向量是指和这条直线___________的非零向量，一条直线的方向向量有___________个；平面的法向量是指与该平面___________的非零向量，一个平面的法向量有___________个. 2．分别写出平面，平面，平面的一个法向量的坐标． 3．已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可） 4．如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 1．（多选）下列结论正确的是（       ） A．直线的方向向量是唯一确定的. B．平面的单位法向量是唯一确定的. C．若两平面的法向量平行，则两平面平行. D．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行. 2．（多选）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是（       ） A．直线 的一个方向向量为(0，0，1) B．直线的一个方向向量为(0，1，1) C．平面的一个法向量为(0，1，0) D．平面的一个法向量为(1，1，1) 3．设是空间直线l上的点，求直线l的一个方向向量. 4．直线的一个方向向量是______________． 5．四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题： ①为平面PAD的法向量；    ②为平面PAC的法向量； ③为直线AB的方向向量； ④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量． 其中正确命题的序号是______________ 6．在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(       ) A． B． C． D． 7．若点，，，则平面ABC的一个法向量______． 8．已知，求平面的一个单位法向量的坐标. 9．已知正方体，分别写出对角面和平面的一个法向量． 1．有以下命题： ①一个平面的单位法向量是唯一的 ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交 ④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直 其中真命题的个数有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，是两条直线，它们的方向向量分别为，，，是两个平面，且，，则“”是“”的（       ） A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 4．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（       ） A． B． C． D． 5．（多选）下列命题中真命题有（       ）． A．直线l的方向向量有无穷多个 B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 C．若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是直线l的一个方向向量 D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直 6．（多选）在如图所示的空间直