第03讲 一元二次方程的根与系数关系-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第1章 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 目标导航 课程标准 课标解读 知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 2.了解一元二次方程的根与系数的关系，在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想。 知识精讲 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练1】若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x1+x2 的值是（        ） A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6 【即学即练2】关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（       ） A． B． C．1 D． 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 1.验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； 2.已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； 3.不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． 4.已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是 . 5.已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； 6.利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 【即学即练3】已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（       ） A．0 B．－10 C．3 D．10 【即学即练4】设方程两个根为、，则（       ） A． B． C． D． 能力拓展 考法 一元二次方程的根与系数的关系 【典例1】关于的方程，，是方程的两个根，设，则当的值为2时，______． 【典例2】设a、b是方程的两实数根，则______． 分层提分 题组A 基础过关练 1．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（       ） A．0 B．2 C．1 D．－1 2．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（       ） A．2022 B．-2022 C．2020 D．-2020 3．方程的两根为，则等于（       ） A．4 B．－4 C．3 D．－3 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一个根是3，则它的另一个根为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．一元二次方程的两根之和为（       ） A．－5 B．5 C．－4 D．4 6．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（             ） A．1和6 B．5和 C．和6 D．5和6 题组B 能力提升练 1．关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则_________． 2．设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，则a+b﹣ab＝_____． 3．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是______． 4．若，是方程的两个根，则的值是______． 5．已知一元二次方程的两根分别为，则的值等于_______． 6．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 7．对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____． 8．已知是方程的一个根，那么此方程的另一个根为______． 题组C 培优拔尖练 1．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（       ） A．－3 B．3 C．－5 D．5 2．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（       ） ①若，则； ②若方程两根为1和－2，则； ③若方程有一个根是，则 A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 3．若是方程的两个实数根，则的值为（       ） A．3或 B．或9 C．3或 D．或6 4．方程与的所有根的和为______． 5．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 6．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x