2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲） 考点一 常见不等式的解法 【例1】（2022·浙江）求不等式的解集： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)或；(2)；(3)或；(4). 【解析】（1）由，得，解得或，故不等式的解集为或； (2)由得，，故不等式的解集为； (3)由可得，，解得或，故不等式的解集为或； (4)由，可得，∴，解得，故不等式的解集为. 【一隅三反】 （2022·广西解下列不等式： (1) ； (2) .(3)； (4)． (5) ； (6) ；(7)；(8). 【答案】(1)(2)(3)；(4) .(5)或(6)(7)(8) 【解析】(1)由题，即，解得或，即； (2)由题，解得或，即 (3)不等式化为：，解得，所以的解集为. (4)，原不等式化为：，解得：， 所以的解集是. (5)因为， 所以方程有两个不等实根 ，. 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为或 (6)因为， 所以方程有两个不等实根，即，. 又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为． (7)可得，∴∴该不等式解集为； (8)原不等式，∴，∴该不等式解集为； 考点二 三个一元二次的关系 【例2-1】（2022·四川）已知不等式的解集为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式的解集知：和是方程的两根，.故选：A. 【例2-2】（2021·江苏南通·高一期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于x的不等式的解集为 ，且和1是方程的两个根，则，， 关于x的不等式，即，，解得， 故不等式的解集为，故选：A 【一隅三反】 1．（2022·广西）若不等式的解集是，则的值为（       ） A．-10 B．-14 C．10 D．14 【答案】B 【解析】由题意，和是方程的两个根，由韦达定理得：且，解得：，，所以.故选：B 2．（2022·江苏省）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式的解集是，所以方程的解是和，且， 则，解得，，所以不等式化为，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故选：A． 3．（2022·山西）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．的解集为或 【答案】ABC 【解析】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知，A正确； 的根为，则，即∴，B正确； ，C正确；，即，则，解得 ∴的解集为，D错误；故选：ABC． 考点三 一元二次根的相关问题 【例3-1】（2022·甘肃）若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________. 【答案】 【解析】首先，设方程的两根为，则， 所以，又，解得．故答案为：． 【例3-2】（2021·全国·高一专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 由题可知： 则，即故选：C 【例3-3】（2022·四川省高县中学校）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，且， 所以，当且仅当时等号成立.故选：C 【例3-4】（2022·甘肃庆阳）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程对应的二次函数设为： 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，故符合题意； ③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于， ，解得， 当时，方程的根为，不合题意； 若，方程的根为，符合题意 综上：实数m的取值范围为故选：D 【一隅三反】 1．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（       ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】因为函数（b，c为实数），，所以， 解得，所以， 因为方程有两个正实数根，，所以，解得， 所以，当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B 2．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（       ） A．-2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意可得，解得或， 设两个为，，由两根为正根可得，解得，综上知，. 故两个根的倒数和为， ，，，故，，故两个根的倒数和的最小值是