重难点01 相似三角形（5种模型） -2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（沪教版）

重难点01 相似三角形（5种模型） ( 技巧 方法 ) 一、“8”字模型 8字_平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字_不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论： ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 二、“A”字模型 三、“母子”型 “子母型”相似的图形特点：有一个公共角，                             一对完全重合的边，                             一对半重合的边，                             一对完全不重合的边。 子母型的结论：AB²=AD·AB   (重合边的平方等半重合边的乘积)                    特殊的子母型（双垂直型） 四、“一线三等角”模型 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角” ( 能力拓展 ) 题型一：“8”字模型 1．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若，求的值． 【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答； （2）过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用（1）的结论可得，先AC＝2a，AB＝3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD＝m，BD＝3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EHm，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得，从而求出EF的长，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AEB， ∴， ∴AB2＝AC•AE； （2）解：过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H， ∵△ABC∽△AEB， ∴， ∴设AC＝2a，AB＝3a， ∴， ∴AEa， ∴， ∵BD＝3CD， ∴设CD＝m，则BD＝3m， ∴BC＝CD+BD＝4m， ∴， ∴EB＝6m， ∵EH∥CD， ∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE， ∴△ACD∽△AEH， ∴， ∴EHm， ∵EH∥BD， ∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH， ∴△BDF∽△EHF， ∴， ∴EFBEm， ∴， ∴的值为． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE，