专题1.5 一线三等角模型（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（浙教版）

专题1.5 一线三等角模型 【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A． （1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E． ①依题意补全图1； ②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 　 　． 【思路点拨】 （1）①由题意画出图形即可； ②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答． 【解题过程】 解：（1）①依题意补全图形如图1所示． ②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE． 证明：∵CE⊥l，BD⊥l， ∴∠CEA＝∠ADB＝90°． ∴∠ECA+∠CAE＝90°． ∵∠BAC＝90°，直线l过点A， ∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°． ∴∠ECA＝∠BAD． 又∵AC＝AB， ∴△CEA≌△ADB（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD． ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． （2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE， 理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角， ∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD， ∵∠BDA＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE． 故答案为：DE＝BD+CE． 1．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（　　） A．75° B．80° C．65° D．95° 【思路点拨】 由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形内角和为180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和即可得证． 【解题过程】 解：∵∠B＝∠C，∠A＝50° ∴∠B＝∠C（180°﹣50°）＝65°， ∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180° ∴∠FDB＝85° 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE＝30°， 又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°， ∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°． 故选：C． 2．（2021秋•南充期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（　　） A．∠A＝∠2 B．∠A+∠E＝90° C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE 【思路点拨】 证明△ABC≌△CDE（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DE，∠1＝∠E，则可得出结论． 【解题过程】 解：∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠1+∠A＝90°， ∴∠2＝∠A， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴BC＝DE，∠1＝∠E， ∴∠A+∠E＝90°， ∵∠1≠∠2， ∴∠BCD≠∠ACE． 故A，B，C选项不符合题意， 故选：D． 3．（2021秋•邗江区期中）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（　　） A．18 B．26 C．28 D．34 【思路点拨】 由图可以得到a、b、c三个正方形的面积与1号、2号、3号、4号正方形的面积之间的关系，再根据1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，可以求得a，b，c三个正方形的面积的和． 【解题过程】 解：如下图所示， ∵∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS） ∴BC＝DE， ∵AB2+BC2＝AC2， ∴S1+S2＝Sa， 同理可证，S2+S3＝Sb，S3+S4＝Sc， ∴Sa+Sb+Sc＝S1+S2+S2+S3+S3+S4， ∵S1+S4＝10，S2+S3＝8， ∴Sa+Sb+Sc＝S1+S2+S2+S3+S3+S4＝（S1+S4）+（S2+S3）+（S2+S3）＝10+8+8＝26， 故选：B． 4．（2021秋•德州期中）如图，A