专题1.4 三角形的外角性质（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（浙教版）

专题1.4 三角形的外角性质 【典例1】阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　． （2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A． （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数． 【思路点拨】 （1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数． 【解题过程】 解：（1）如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB ∴∠OBC+∠OCB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣60°） ＝60° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°； 如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD ∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD（∠ABC+∠A） ∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC ∠ABC∠A∠ABC ∠A ＝30° 如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD ∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠BCD ∴∠OBC+∠OCB （∠EBC+∠BCD） （∠A+∠ACB+∠BCD） （∠A+180°） （60°+180°） ＝120° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60° 如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2 ∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C ∴∠O2BC+∠O2CB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣60°） ＝80° ∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100° ∴∠BO2O1∠BO2C＝50° 故答案为：120°，30°，60°，50°； （2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A． （3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20° ∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20° ∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25° ∴∠ACB＝2∠BCO2＝50° ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70° 或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β， ∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45° ∴α＝20°，β＝25° ∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°， ∴∠A＝70°． 1．（2021秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．则下列结论正确的是（　　） A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A 【思路点拨】 根据三角形的外角性质得出∠2＞∠D，∠1＞∠2，∠1＝∠A+∠2，∠2＝∠3+∠D，再逐个判断即可． 【解题过程】 解：A．∵∠2＞∠D，∠1＞∠2， ∴∠1＞∠D，故本选项符合题意； B．∠2＞∠D，故本选项不符合题意； C．∠1＝∠2+∠A＝∠D+∠3+∠A，∠2+∠3＝∠D+∠3+∠3＝2∠3+∠D， 又∵∠3和∠A不一定相等， ∴∠1和∠2+∠3不一定相等，故本选项不符合题意； D．∠3和∠A不一定相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（2020秋•秦都区期末）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（　　） A．β＝α+γ B．β＝2γ﹣α C．β＝α+2γ D．β＝2α﹣2γ 【思路点拨】 根据平行线的性质得到∠B＝∠EFC＝β，由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD，根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC＝∠B+∠BCD