第10讲-锐角三角比的概念 讲义 2022年暑假沪教版（上海）九年级数学第一学期

 

 

思考①：已知，如图，小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长2米，若此时测得一塔在同一地面的影长为60米，则塔高应为多少米？

 

 

思考②：如图：Rt△ABC与Rt△ADE，∠C=∠ADE=90°，∠A=30°，那么与有什么关系?

 

 

讨论:若将∠A=30°改为45°或60°或任意角，是否还有前面的结论？即在一个直角三角形中，如果一个锐角大小确定了，那么它的两个直角边的比值是否是一个确定的值，直角边和斜边的比值是否是一个定值？

 

 

 

 

 

【归纳】：

在直角三角形中，锐角的对边是指该锐角相对的直角边，邻边是指该锐角相邻的直角边，直角所对的边叫斜边

如图，在中，，的对边是，的邻边是,的对边是，的邻边是．

 

 

 

思考③：当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗？

 

 

 

 

 

                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【归纳】：

总结，通过上面得讨论，可以得到：

在中∠C=90°，当锐角A的大小确定后，不论的边长怎样变化，的对边是与邻边的比值总是确定的，即：

；

直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．

．

 

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，这个锐角的邻边与对边的比值也是确定的。

我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A．

．

于是可以得到：

 

 

思考④：在中，，锐角B的余切用那两条边的比表示？cotB与tanA有什么关系？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例6】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求和的值．

【难度】★★

 

 

 

 

 

 

【例7】如图，已知正比例函数的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求和的值．

【难度】★★

 

 

 

 

 

 

【例8】已知，在中，，BC = 9，tan A =．

求：（1）AB的长；（2）tan B的值．

【难度】★★

 

 

 

【例9】如图，在中，，，垂足为点Q．

（1）                   ．

 

 

 

 

 

【例34】如图，在中，，CDAB于D．已知AC = 8，BC = 15．求

的三角比．

【难度】★★

 

 

 

 

 

【例35】如图，在中，，sin A = ，点D、E分别在边AB、AC上，

DEAC，DE = 2，DB = 9，求DC的长．

【难度】★★

 

 

 

 

 

 

【例36】已知，锐角的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点

P（1，）．求的三角比．

【难度】★★

 

 

 

 

【例37】已知一次函数y = x – 4的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，P是线段AB

的中点，求的值．