专题2.2 根的判别式和根与系数的关系（重点题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题2.2 根的判别式和根与系数的关系 【典例1】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2． （1）若x12+x22＝2，求m的值； （2）令T，求T的取值范围． 【思路点拨】 首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积． （1）变形x12+x22为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值； （2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围． 【解题过程】 解：∵关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根， ∴Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0， 解得m≤1， ∵m是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m≤1， ∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3． （1）∵x12+x22＝2， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2， ∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2， 整理得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去）， ∴m的值为1； （2）T ＝2﹣2m． ∵当m＝0时，方程为x2﹣4x+3＝0， 解得x＝1或x＝3． 此时T没有意义． 当m≠0时，﹣1≤m≤1， 所以0≤2﹣2m≤4． 即0≤T≤4且T≠2． 1．（2021秋•南海区期末）已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可． 【解题过程】 解：∵是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为a， ∴a1， 解得：a＝1，即a． 故选：C． 2．（2021秋•莲池区期末）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【思路点拨】 分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空． 【解题过程】 解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确； 当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误； 把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0， 当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确； 故选：C． 3．（2020•江汉区校级自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（　　） A．1 B． C． D．2 【思路点拨】 先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论． 【解题过程】 解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m＝0，解得|x|＝1±， ∵10，则方程有四个实数根， ∴方程必有一个根等于0， ∵10， ∴10， 解得m＝2． 故选：D． 4．（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 由2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，即2（）2+52＝0，且αβ≠1，可得α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，由根与系数关系得α，α•1，再把变形（α）+α•，然后利用整体代入的方法计算． 【解题过程】 解：∵实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1， ∴2（）2+52＝0， ∴α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根， ∴α，α•1， ∴ 1+α•α （α）+α•1 （）+（﹣1）+1 ． 故选：A． 5．（2020•江岸区校级自主招生）设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m或m C．m或m D．m 【思路点拨】 首先根据根的判别式求出三个方程没有一个方程有实数根的m的取值范围，然后即可求出题目要求的取值范围． 【解题过程】 解：设关于x的三个方程都没有实根． 对于方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，则有△1＜0，即△1＝16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得m； 对于方程x2+（2m+1）x+m2＝0，则有△2＜0，