专题2.2 绝对值（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题2.2 绝对值 【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　； （3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　 　，最小距离是　 　． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝　 　． 【思路点拨】 （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答； （3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解． 【解题过程】 解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5； （2）|x+1|＝3， x+1＝3或x+1＝﹣3， x＝2或x＝﹣4． 故答案为：2或﹣4； （3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1， ∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3， 当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8， 当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2； 故答案为：8，2； （4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间， |a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6． 故答案为：6． 1．（2022•高邮市模拟）若|x|+|x﹣4|＝8，则x的值为（　　） A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对 【思路点拨】 根据绝对值的意义得出，|x|+|x﹣4|＝8表示到原点和4的距离和是8的数，分两种情况求出x的值即可． 【解题过程】 解：∵|x|+|x﹣4|＝8， ∴当x＞4时，x+x﹣4＝8， 解得x＝6， 当x＜0时，﹣x+4﹣x＝8， 解得x＝﹣2， 故选：C． 2．（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（　　） A．10 B．11 C．17 D．21 【思路点拨】 由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可． 【解题过程】 解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和， 由数轴表示数的意义可知， 当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小， 最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17， 故选：C． 3．如果有理数a，b，c满足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】 通过对式子|a+c|＝3的变形，确定已知之间的关系，再进行分类讨论，结合对所求式子的变形，找到已知所求之间的关系，再进行求解． 【解答过程】 解：|a+c|＝|a﹣b+b+c|＝3， ∵|a﹣b|＝1，|b+c|＝2， ∴a﹣b＝1，b+c＝2或a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2， 分两种情况讨论： ①若a﹣b＝1，b+c＝2，则两式相加，得a+c＝3， ∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|3+2×2|＝7； ②若a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，则两式相加，得a+c＝﹣3， ∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|﹣3+2×（﹣2）|＝7． 故选：C． 4．（2021秋•洛川县校级期末）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 根据绝对值的意义分情况说明即可求解． 【解题过程】 解：∵abc＞0，a+b+c＝0， ∴a、b、c为两个负数，一个正数， a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b， m ∴分三种情况说明： 当a＜0，b＜0，c＞0时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4， 当a＜0，c＜0，b＞0时，m＝﹣1﹣2+3＝0， 当a＞0，b＜0，c＜0时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2， ∴m共有3个不同的值，﹣4，0，﹣2，最大的值为0． ∴x＝3，y＝0， ∴x+y＝3． 故选：B． 5．我们知道，所以当x＞0时，；当x＜0时，．下列结论序号正确的是（　　） ①已知a，b是有理数，当ab≠0时，的值为0或±2； ②已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则的值为±1； ③已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，则； ④已知a，b，c是非零的有理数，且，则的值为1或﹣3； ⑤已知a，b，c是