第20讲 中考压轴题专题之阿氏圆模型 训练

第二十讲 考压轴题专题之阿氏圆模型 阿氏圆(阿波罗尼斯圆)模型: 己知平面上两定点B、C,则所有满足(k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造”斜A”型相似(也叫”子母型相似”)+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。 在几何画板上观察下面的图形，当P在在圆O上运动时，PC、PB的长在不断的发生变化，但的比值却始终保持不变。 “阿氏圈”模型破解策略 第一步:连接动点于圆心O(一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连)，即连接OB、OP； 第二步:计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况，如例子 第三步:在OB上取点C,使得(核心关键步骤) 第四步:连接AC,与○0的交点即为点P. 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握子母型相似三角形的性质和构造方法。 如图，在△OPB的边OB上找一点C，使得，则此时△OPC∽△OBP。 小结： “阿氏圆”问题需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k 值如大于 1 则将线段扩大相同的倍数取点，k 值如小于 1 则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。 练习： 1．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　 　，PD﹣的最大值为　 　； （2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　 　，PD﹣的最大值为　 　． ( T2 )（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　 　，PD﹣的最大值为　 　． 2．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为　 　． 3．已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值为 ． T3 T4 T5 4. （2020•浦口区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是　 　． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为　 　，AP+3BP的最小值为　 　。 6．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC+PB的最小值是　 　． （T6） （T7） （T8） 7．如图，在△ABC中，∠ABC=90˚，AB=2BC=6，点D在BC上，BD=1，点P是以BC为半径的⊙B上的一个动点，则AP+6PD的最小值为　 　． 8．如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是圆上动点，则2PB+PC的最小值为　 　． 9．问题提出： 如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值 （1）尝试解决： 为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整） 如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有 又∵∠PCD＝∠　 　 △　 　∽△　 　 ∴ ∴PD＝BP ∴AP+BP＝AP+PD ∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　． （2）自主探索： 如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．（请在图3中添加相应的辅助线） （3）拓展延伸： 如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程． 10．（2017兰州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线