第19讲 中考压轴题专题之相似三角形问题 训练

第十九讲 中考压轴题专题之相似三角形问题 1．（2021•铁岭四模）已知，如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在第一象限的抛物线上有一点E，当点E绕原点O顺时针旋转90°得到线段OF，当点F恰好在直线AC上时，求点E的坐标； （3）如图2，点D为抛物线的顶点，连接AD，CD，若点M是抛物线上的动点（不与点C重合），连接CM，作MN⊥CM交直线AC于点N，是否存在若以C，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标； （3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标． 3．如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D． （1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值； （3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 4．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 5．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F． （1）求线段DE的长． （2）联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且△BEG与△COE相似，请直接写出点G的坐标． （3）设点P为x轴上的一点，且∠DAO+∠DPO＝∠α，tanα＝4时，求点P的坐标． 6．如图1，已知抛物线C1：y＝x2﹣2x+c和直线l：y＝﹣2x+8，直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B，与直线l交于点P．且当k＝2时，直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1只有一个交点． （1）求c的值； （2）求证：，并说明k满足的条件； （3）将抛物线C1沿第一象限夹角平分线的方向平移t（t＞0）个单位，再沿y轴负方向平移（t2﹣t）个单位得到抛物线C2，设抛物线C1和抛物线C2交于点R；如图2． ①求证无论t为何值，抛物线C2必过定点，并判断该定点与抛物线C1的位置关系； ②设点R关于直线y＝1的对称点Q，抛物线C1和抛物线C2的顶点分别为点M、N，若∠MQN＝90°，求此时t的值． 7．（2021•姑苏区校级一模）如图1，抛物线y＝（x﹣m）2﹣2m+1（m为常数）与x轴交于A、B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）下列说法：①抛物线开口向上；②点C在y轴正半轴上；③m＞；④抛物线顶点在直线y＝﹣2x+1上，其中正确的是 　　； （2）如图2，若直线y＝﹣2x+1与该抛物线交于M、N两点（点M在点N下方），试说明：线段MN的长是一个定值，并求出这个值； （3）在（2）的条件下，设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，连接BM、BN、BD，当DN：MN＝1：2时，求此时m的值，判断△MBN与△MDB是否相似，并说明理由． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）将B（﹣1，0），C（0，3），代入函数解析式得，， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得：x＝﹣1或x＝3， ∴A（3，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则 ，解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 如图1，过点E作EP⊥y轴于点P，过点F作FQ⊥y轴于点Q，则∠EPO＝∠OQF＝90°， ∴∠EOP+∠PEO＝90°， ∵点