第16讲 中考压轴题专题之圆 训练

第十六讲 中考压轴题类型之圆 1．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y＝x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B． （1）求抛物线的解析式； （2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由； （3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D． （1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D的坐标； ②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值； （2）如图2，若a＝1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标． 3．如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D． （1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）； （2）若以AD为直径的圆经过点C． ①求抛物线的函数关系式； ②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标； ③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标． 4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 5．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ． （1）求sin∠AOQ的值； （2）求的值； （3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围． 6．（2020长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE． （1）求∠AOB的度数； （2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度； （3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度． 7．（2021秋•岳麓区月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标； （3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3， 在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA＝＝＝4， ∵OC⊥AB， ∴由垂径定理得，OB＝OA＝4， OC＝OE+CE＝3+5＝8， ∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0）， ∵抛物线的顶点为C， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2， 将点B的坐标代入上解析的式，得64a＝﹣4，故a＝﹣， ∴y＝﹣（x﹣8）2， ∴y＝﹣x2+x﹣4为所求抛物线的解析式， （2）在直线l的解析式y＝x+4中，令y＝0，得x+4＝0，解得x＝﹣， ∴点D的坐标为（﹣，0）， 当x＝0时，y＝4， ∴点A在直线l上， 在Rt△AOE和Rt△DOA中， ∵＝，＝， ∴＝， ∵∠AOE＝∠DOA＝90°， ∴△AOE∽△DOA， ∴∠AEO＝∠DAO， ∵∠AEO+∠EAO＝90°， ∴∠DAO+∠EAO＝90°，即∠DAE