第13讲 中考压轴题专题之二次函数与旋转专题 训练

第十三讲 中考压轴题专题之二次函数与旋转专题 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）若E为第二象限的抛物线上的点，连接BC，BE，CE，当S△BCE＝S△BOC时，求点E的坐标． （3）M为平面内一点，将抛物线绕点M旋转180°后得到新的抛物线，且新的抛物线经过点A，若新抛物线上有一点P，使△BCP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标． 2．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（﹣2，0）和点C（0，﹣2），与x轴交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）点P（0，n）是y轴上的一个动点，将线段OB绕点P顺时针旋转90°，得到线段O'B'； ①若线段O'B'与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出n的取值范围； ②直线PB'交抛物线于M、N两点，若点B'是线段MN的中点，求n的值． 3．（2021•建湖县二模） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的表达式及顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2021•南山区二模）抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标； （3）如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，求N点坐标． 5．如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，且点C（﹣1，0）． （1）求该二次函数的表达式； （2）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标； （3）如图2，点D是点A关于抛物线对称轴的对称点，动点P在直线AB上方的抛物线上移动．现将△ADP绕点A顺时针旋转45°得到△AD′P′，若直线AP′的延长线交x轴于点E（1，0），求出此时点P的坐标． 6．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，请直接写出点D的坐标； （3）若点E（m，n）为抛物线上的一个动点，将点E绕原点O旋转180°得到点F． ①当点F落在该抛物线上时，求m的值； ②当点F落在第二象限内且AF取得最小值时，求m的值． 7．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点． （1）求抛物线的解析式； （2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标． （3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）． ①求证：EA＝ED． ②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣4，0）两点代入y＝ax2+bx+2， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点E作EN∥y轴交BC于点N， 由（1）可知点C的坐标为（0，2）， 设线段BC所在的直线的解析式为y＝kx+t， 将B（﹣4，0），C（0，2）代入， 得， 解得， ∴线段BC所在的直线的解析式为， 设点E的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得m2+4m+4＝0， 解得m1＝m2＝﹣2， ∴点E的坐标为（﹣2，2）； （3）①当点P在x轴的下方时，如图2，过点P1作P1D⊥x轴于点D， 设原抛物线的顶点为G，则点G的坐标为， ∵△P1BC是等腰直角三角形， ∴BC＝P1B，∠P1BC＝90°， ∴∠CBO+∠OCB＝∠OBC+∠P1BD＝90°， ∴∠OCB＝∠P1BD． ∵∠BOC＝∠P1DB＝90°， ∴△BOC≌△P1DB（AAS）， ∴P1D＝OB＝4，BD＝OC＝2， ∴OD＝4﹣2