第10讲 中考压轴题专题之区间最值问题 训练

第十讲 中考压轴题专题之区间最值问题 1．已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是 2．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为 3．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为　 　． 4．（2020江干区模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0） （1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围； （2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围； （3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）． 5．（2020如皋模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）． （1）求b和c（用m的代数式表示）； （2）若在自变量x的值满足﹣2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，求m的值； （3）已知点A（﹣1，﹣2m2﹣3m）和点B（2，﹣2m2+6m）．若二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，直接写出m的取值范围． 6．（2019台州）已知二次函数y＝x2+bx+2b（b是常数）． （1）若函数图象过（1，4），求函数解析式； （2）设函数图象顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数关系式； （3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b的值． 7．（2019大连）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）． （1）填空：t的值为　 　（用含m的代数式表示） （2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式； （3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 8．（2020河西区模拟）已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标； （Ⅱ）将抛物线C绕原点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值； （Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． 9.已知点P为抛物线y1=x²+(2t-3)x+(t+1)顶点，点Q是直线y2=(2t-3)x+(t-t²)与y轴交点，t为常数，且-2≤t≤. (1)若抛物线与坐标轴有且仅有两个公共点，试比较t与-1的大小； (2)试确定抛物线y1与直线y2上下位置关系； (3)若抛物线经过，无论x为何值，总有x²+(2t-3)x+t≥，当2m-1≤x≤2m时，抛物线有最小值，求出m的值. 参考答案与试题解析 1．【解答】解：∵点P（m，n）是该抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为x＝m， ∵点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y1＞y2≥n， ∴＜m， 解得m＞， 2．【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1＝5， 解得：h＝﹣1或h＝3（舍）； ②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最小值5， 可得：（4﹣h）2+1＝5， 解得：h＝6或h＝2（舍）． 综上，h的值为﹣1或6， 3．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1， 解得：x1＝0，x2＝2． ∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1， ∴a＝2或a+1＝0， ∴a＝2或a＝﹣1， 故答案是：2或﹣1． 4．【解答】解：（1）△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0， 解得：a≥； （2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， 当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1， 故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5； （3）①当m+2＜2时，即m＜0时， 函数在x＝m+2时，取得最小值， ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1； ②当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2， 函数在顶点处取得最小值， 即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1； ③