第6讲 中考压轴题专题之二次函数与方程问题 训练

第六讲 中考压轴题专题之二次函数与方程问题 1．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　） (T1) (T2) A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣ 2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有　 　． 3．已知实数a,b满足a+ab+b=3,若m=a-ab+b,则m的取值范围是 4．（2011长沙）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）． （1）当m＝0时，求该函数的零点； （2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式． 5．（2020长沙模拟）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0． （1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围； （3）将（2）中的抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位，与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），若，求M的取值范围． 6．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2015广州）已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|＝4，点A，C在直线y2＝﹣3x+t上． （1）求点C的坐标； （2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； （3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值． 8．（2018秀屿区模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c（bc≠0）． （1）若该抛物线的顶点坐标为（c，b），求其解析式； （2）点A（m，n），B（m+1，n），C（m+6，n）在抛物线y＝x2+bx+c上，求△ABC的面积； （3）在（2）的条件下，抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于D（x1，0），E（x2，0）（x1＜x2）两点，且0＜x1+x2＜3，求b的取值范围． 9．（2018荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x＝﹣2． （1）求抛物线的解析式； （2）设直线y＝kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当时，求k的值； （3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当 S△POQ：S△BOQ＝1：2时，求出点P的坐标． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0， 即x2﹣4x+3＝0， 解得x＝1或3， 则点A（1，0），B（3，0）， 由于将C1向右平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）， 当y＝x+m1与C2相切时， 令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2， 即2x2﹣15x+30+m1＝0， △＝﹣8m1﹣15＝0， 解得m1＝﹣， 当y＝x+m2过点B时， 即0＝3+m2， m2＝﹣3， 当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点， 故选：D． 2．【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0， ∴abc