第4讲 中考压轴题专题之四边形存在性问题 训练

第四讲 中考压轴题专题之四边形存在性问题 1．（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 2．（2021•齐齐哈尔）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　 　； （3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值； （4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 3．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2020•郑州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，﹣3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为3时，求出点P的坐标； （3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，点R是坐标平面内一点，当以点C、M、N、R为顶点的四边形为正方形时，请直接写出此时点R的坐标． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为： y＝ax2+bx+c（a≠0）， 将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得： 解得， 所以此函数解析式为：y＝； （2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m，）， ∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB ＝×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4 ＝﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 ＝﹣m2﹣4m， ＝﹣（m+2）2+4， ∵﹣4＜m＜0， 当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝﹣4+8＝4． 答：m＝﹣2时S有最大值S＝4． （3）设P（x，x2+x﹣4）． 当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB， ∴Q的横坐标等于P的横坐标， 又∵直线的解析式为y＝﹣x， 则Q（x，﹣x）． 由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|＝4， 解得x＝0，﹣4，﹣2±2． x＝0不合题意，舍去． 如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP＝4．四边形PBQO为平行四边形则BQ＝OP＝4，Q横坐标为4，代入y＝﹣x得出Q为（4，﹣4）． 由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）． 2．【解答】解：（1）∵OA＝1， ∴A（﹣1，0）， 又∵对称轴为x＝2， ∴B（5，0）， 将A，B代入解析式得： ， 解得， ∴； （2）由（1）得：C（0，），D（2，）， ∴CD＝， 故答案为2； （3）∵B（5，0），C（0，）， ∴直线BC的解析式为：， 设E（x，）， 作EF∥y轴交BC于点F， 则F（x，）， ∴EF＝﹣（）＝， ∴， 当x＝时，S△BCE有最大值为； （4）设P（2，y），Q（m，n）， 由（1）知B（5，0），C（0，）， 若BC为矩形的对角线， 则， 解得：， 又∵∠BPC＝90°， ∴PC2+PB2＝BC2， 即：， 解得y＝4或y＝﹣， ∴n＝或n＝4， ∴Q（3，）或Q（3，4）， 若BP为矩形得对角线， 则， 解得， 又∵∠BCP＝90°， BC2+CP2＝BP2， 即：， 解得y＝， ∴Q（7，4）， 若BQ为矩形的对角线， 则， 解得：， 又∵∠BCQ＝90°， ∴BC2+CQ2＝BQ2， 即：， 解得n＝， ∴Q（﹣3，﹣）， 综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）． 3．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3， ∴C（