第2讲 中考压轴题专题之全等三角形问题 训练

第二讲 中考压轴题专题之全等三角形问题 1．王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．若王老师下班时，还沿着这条路返回家中，回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间是　 　分钟． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣3，0），（x1，0），且2＜x1＜3，与y轴的负半轴交于点（0，﹣3）的上方．下列结论：①a＞b＞0；②6a+c＜0；③9a+c＞0；④3a＜b+1．其中正确结论的个数为（　　） T1 T2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是　 4．如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y＝x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是　 　． 5．（2016许昌一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），D两点，与y轴交于点C，对称轴x＝3交x轴交于点B． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是x轴上方抛物线上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点E．设点M的横坐标为m，用含m的代数式表示线段ME的长，并求出线段ME长的最大值． （3）若点P在y轴的正半轴上，连接PA，过点P作PA垂线，交抛物线的对称轴于点Q．是否存在点P，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2019抚顺）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON＝，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标． （3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请求出△PCE与△ACD全等时点P的坐标． 7．（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形 （1）求该抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）求证：CE=EF； （4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：∵由坐标系知，骑车平路1km用了3分钟，上坡路为（2﹣1）＝2（千米），用了（8﹣3＝5（分钟），下坡路（4﹣2）＝2（千米）用了（12﹣8）＝4（分钟）， ∴平路、上坡路和下坡路的速度分别为 、和 （千米/分）， 所以他从单位到家门口需要的时间是2÷+1÷+1÷＝15（分钟）． 故答案为15． 2．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣3，0），（x1，0），且2＜x1＜3， ∴﹣＜﹣＜0， ∴a＞b＞0， ∴结论①正确； ∵x＝﹣3时，y＝0， ∴9a﹣3b+c＝0， ∴（6a+c）+（3a﹣3b）＝0； 又∵a＞b＞0， ∴3a﹣3b＞0， ∴6a+c＜0， ∴结论②正确； ∵x＝﹣3时，y＝0， ∴9a﹣3b+c＝0； ∵x＝3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0， ∴（9a﹣3b+c）+（9a+3b+c）＞0， ∴9a+c＞0， ∴结论③正确； 当x＝﹣3时，y＝0，可得9a﹣3b+c＝0， 则3a﹣b＝﹣， ∵﹣3＜c＜0， ∴﹣＜1， ∴3a＜b+1，故④正确． 故选：D． 3．【解答】解：将点（0，1）和（﹣1，0）分别代入抛物线解析式，得c＝1，a＝b﹣1， ∴S＝a+b+c＝2b， 由题设知，对称轴x＝， ∴2b＞0． 又由b＝a+1及a＜0可知2b＝2a+2＜2． ∴0＜S＜2． 故本题答案为：0＜S＜2． 4．【解答】解：在Rt△AOH中，∠AOH＝30°； 由题意，可知：当∠POQ＝30°或∠POQ＝60°时，以点Q为直角顶点的△P