2.4 线段、角的轴对称性-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第2章 轴对称图形 2.4 线段、角的轴对称性 课程标准 课标解读 1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题． 2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题． 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念; 2.探索并掌握线段的垂直平分线的性质; 3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合; 知识点01 线段的轴对称性 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【微点拨】 1.线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直2.接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【即学即练1】如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，其垂足分别为D，M，分别交BC于E，N，且DE和MN交于点F． （1）若∠B＝20°，则∠BAE＝_____． （2）若∠EAN＝40°，则∠F＝_____． 【即学即练2】如图所示，在中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=2AC．求证：点D在线段AB的垂直平分线上． 知识点02 角的轴对称性 1.角的轴对称性 （1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. （2）角平分线上的点到角两边的距离相等. （3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2.角平分线的画法 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 【微点拨】 （1） 用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. （2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【即学即练3】如图，在中，，AD是的平分线，，垂足为点E．若，，求BE的长． 【即学即练4】如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD． 求证：（1）△BDE≌△CDF； （2）AD是∠BAC的平分线． 考法01 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【典例1】如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：EB平分∠ABC． （3）求证：AE=EF． 考法02 角平分线的性质定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【典例2】如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点． （1）求证：DE＝DF； （2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积． 题组A 基础过关练 1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（       ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．三角形的外心是三角形的（       ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 3．如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（       ）的交点． A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线 4．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一所小学，使小学到三个小区的距离相等，则小学应建在（       ） A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处 B．AC、AB两边高线的交点处 C．AC、AB两边中线的交点处 D．AC、AB两边垂直平分线的交点处 5．如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交