第01讲 菱形的性质与判定-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第1讲 菱形的性质与判定 课程标准 1.理解菱形的定义、性质以及判定方法。了解菱形与平行四边形之间的关系。 2.会用菱形的性质和判定定理来进行有关的论证和计算，会用菱形的对角线长来计算菱形的面积。 3.通过对菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊”到“一般”的认识。 知识点01 菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 注意：菱形的定义的两个要素 ①是平行四边形。 ②有一组邻边相等。二者缺一不可。 即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.。 知识点02 菱形的性质 1．菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心。 注意： ①菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分。 ②菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题。 2．菱形的面积计算 （1）平行四边形的面积公式：底×高 （2）两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 注意： 任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半 知识点03 菱形的判定 菱形的判定方法： 1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）。 3.四条边都相等的四边形是菱形。 注意： 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等。 考法01 菱形的性质 【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（　　） A．35° B．45° C．50° D．55° 【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥AB， ∴∠BAD=180°-∠D=180°-110°=70°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC平分∠BAD， ∴∠1= ∠BAD=35°. 故答案为：A. 【即学即练】如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点O，E为 中点，则 的度数为（　　） A．70° B．65° C．55° D．35° 【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ ，点O是AC的中点， ， ∴∠BAD=180°-∠ABC=110°， ∴∠BAC=55°， ∵E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴ ， ∴∠COE=∠BAC=55°， 故答案为：C． 【典例2】如图，四边形 A．BCD是菱形，顶点 A．，C的坐标分别是 ， ，点D在x轴上，则顶点B的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，连接AC、BD，交于点F， ∵顶点A.，C的坐标分别是 ， ，四边形ABCD是菱形， ∴AC∥x轴， AD=DC，FB=FD，AC⊥BD，AO=CE=2， ∴BD⊥ x轴，△AOD≌△CED， ∴DO=DE=4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DF=FB=2， ∴DB=4， ∴点B的坐标为(4，4)， 故答案为：C． 【即学即练】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是(3,4)，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：点A的坐标是， ， 四边形为菱形， ， 则点B的坐标为． 故答案为：B． 【典例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2，OB=，则菱形ABCD的面积是（　　） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO=2，OB=， ∴AC=4，BD=2， ∴菱形ABCD的面积为×4×2=4. 故答案为：A. 【即学即练】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＋BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∵ ∴ 设BO=x，则AO=7-x， 在Rt中， ∴ ∴ 解得， ∴或 ∴菱形ABCD的面积= 故答案为：C. 考法02 菱形的判定 【典例4】已知四边形ABCD对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形（　　） A．一组对边相等 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．一个内角为 【答案】C 【解析】解：∵四边形对角线互相平分， ∴ 四边形为平行四边形， 若对角线互相垂直， ∴平行四边形为菱形. 故答案为：C. 【即学即练】如图，四边形 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是(　　) A． B． C．