5.2 任意角的三角函数-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

任意角的三角函数 1 任意角的三角函数的概念 设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点. ① 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即； ② 把点的纵坐标叫做的余弦函数，记作，即； ③ 把点的纵坐标叫做的正切函数，记作，即. 正弦函数；余弦函数；正切函数， 它们统称三角函数. 2 三角函数在各个象限的符号 各象限点坐标的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + － － + － － + + － + － 根据三角函数定义可知它们在各个象限符号 (设的终边上一点符号看，看，符号看) 3 特殊角的三角函数值表 － － 利用三角函数的定义求时对应的三角函数值. Eg 如图所示，的终边在轴的负半轴，与轴交点为， 则，，. 4 同角三角函数基本关系式 拓展 【题型一】求三角函数值 【典题1】 已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【解析】 角α的终边与单位圆的交点为，则，， 则． 【典题2】 已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则 . 【解析】 角的始边为轴非负半轴，终边经过点， ，则， 【点拨】 ① 不在单位圆上，故，. ② 设是任意角，它的终边上任意一点，它与原点的距离是， 则. 【题型二】确认三角函数的符号 【典题1】 的值（ ） ．小于 ．大于 ．等于 ．不存在 【解析】 因为，， 所以是第二象限角，是第三象限角， 所以， 从而，选. 【典题2】若且，则终边在(　　) ．第一象限 ．第二象限 ．第一或第三象限 ．第三或第四象限 【解析】 是第二或三象限， ，是第二或四象限， 是第二象限，， ， 可得终边在第一或第三象限．故选：． 【题型三】同角三角函数基本关系式 【典题1】 已知，，则 . 【解析】 方法1 ，， 又， 且， 为第二象限角，， . 方法2 ，构造直角三角形如下图， 在直角三角形中，， 且 为第二象限角， . 【点拨】 ① 若知三者中一个的值，可求另外两个的值，即“知一得二”； ② 在非解答题中用方法二解题速度更快些，只是要多留意三角函数的符号. 【典题2】已知是关于的方程的两个根． 求实数的值；若，求的值． 【解析】(1)是方程的两个实根， ①，②， ，即或， ， 即，解得或． (2)， ，，可得，由(1)可得， ， ， 又 . (注意判断的正负) 【点拨】 ① ； ② 也是“知一得二”. 【典题3】已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角． 求的值； 求的值． 【解析】(1)是关于的方程的一个实根，且是第三象限角， 或舍去)， ． (2) ． 【点拨】 ① 弦化切技巧 若已知，可求或分子分母齐次的形式，可分子分母同 除以或，化为关于的式子. ② 本题巧妙利用了，当遇到类似化为分子分母齐次的形式.对的巧用要注意. ③ 本题若是选择填空题当然也可以通过，求出的值，容易想到且计算量也不大，值得考虑. 【典题4】 已知，求. 【解析】方法 解方程组法 由得，解得， . 方法 对偶式法 设，等式两边平方得 ① 将两边平方，得 ② 由①+②得，，解得， 方法 弦化切法 将两边平方，得 即， 即，解得. 巩固练习 1(★) 已知角的项点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则 ． ． 【答案】 点在角的终边上，，故选：． 2(★) 若为第二象限角，则下列结论一定成立的是(　　) ．0 ．0 ．0 ．0 【答案】 【解析】为第二象限角，，． 则，， 为一或三象限角，得．故选：． 3(★) 已知，且为第二象限角，那么 . 【答案】 ，且为第二象限角， ，则， 4(★) 如果角满足，那 . 【答案】 ，，即， 那么， 5(★★) 已知，且，则 . 【答案】 【解析】， 两边平方，可得，可得， ， 可得，，可得， ． 6(★★) 若，且，则 . 【答案】 【解析】，， 即，∴解得或舍)． ，，． 7(★★) 已知，则 . 【答案】 ， ． 8(★★) 若，则 . 【答案】或 【解析】，且， ，， ，则或. 挑战学霸 若，证明. 【解析】如上图，在单位圆中，，， 显然. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学